MAT223H1 Algèbre linéaire I : guide et tutorat

Commencez par $\mathbf v=a\mathbf b_1+b\mathbf b_2$. Les colonnes d’une matrice décrivent les images des vecteurs de la base, exprimées dans la base d’arrivée.

1. Vérifier la base et trouver les coordonnées

   Les colonnes de $P=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}$ sont les vecteurs proposés. Puisque $\det P=1-2=-1\ne0$, ils forment une base de $\mathbb R^2$.

   Les équations $a+2b=5$ et $a+b=3$ donnent $b=2$, puis $a=1$. Ainsi, $[\mathbf v]_B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ : une fois $\mathbf b_1$ plus deux fois $\mathbf b_2$ redonnent le vecteur initial $(5,3)$.

2. Construire la matrice dans cette base

   On calcule $T(\mathbf b_1)=(1,1)=\mathbf b_1$ et $T(\mathbf b_2)=(4,2)=2\mathbf b_2$. Leurs coordonnées dans $B$ sont les colonnes $(1,0)$ et $(0,2)$, donc $[T]_B=D=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$.

   Les deux vecteurs initiaux sont non nuls. Ces égalités montrent donc que $\mathbf b_1$ et $\mathbf b_2$ sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres 1 et 2. La transformation multiplie les vecteurs de chacune de ces directions par le facteur correspondant.

3. Transformer, convertir et vérifier

   Dans la base $B$, $[T(\mathbf v)]_B=D[\mathbf v]_B=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$. En coordonnées usuelles, cela donne $T(\mathbf v)=\mathbf b_1+4\mathbf b_2=(9,5)$.

   Vérification directe : $T(5,3)=(15-6,5)=(9,5)$. La matrice en coordonnées usuelles est $A=\begin{pmatrix}3&-2\\1&0\end{pmatrix}$. Elle agit sur $(5,3)$, tandis que $D$ agit sur la colonne de coordonnées $(1,2)$ dans $B$.

   Le vecteur ne change pas quand ses coordonnées usuelles $(5,3)$ sont remplacées par ses coordonnées $(1,2)$ dans $B$. C’est l’application de $T$ qui transforme le vecteur. Attention à ne pas mélanger les deux systèmes de coordonnées.