Vecteurs et valeurs propres : comprendre la géométrie

1. Qu’est-ce qui reste inchangé?

Pour une matrice carrée $A$, un vecteur $\mathbf v$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$ lorsque

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v,\qquad \mathbf v\ne\mathbf0.$$

Ici, $A\mathbf v$ désigne le produit matrice-vecteur, tandis que $\lambda\mathbf v$ multiplie chaque composante du vecteur par le même nombre réel. Par exemple, $\mathbf v=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ est un vecteur colonne; son image par $A$ est un autre vecteur colonne.

• Si $\lambda>0$, l’image pointe dans le même sens que le vecteur initial.
• Si $\lambda<0$, l’image pointe dans le sens opposé, sur la même droite.
• Si $\lambda=0$, l’image est le vecteur nul, qui n’a pas de direction. Le vecteur initial peut tout de même être propre.

La longueur est multipliée par $|\lambda|$. Elle augmente si $|\lambda|>1$, diminue si $0<|\lambda|<1$ et reste inchangée si $|\lambda|=1$. L’expression « conserve la direction » demande donc une précision : la droite est conservée, mais le sens peut s’inverser et une image nulle n’a pas de direction.

Pour la matrice diagonale suivante, les axes horizontal et vertical sont des directions propres :

$$D=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

En effet, $D\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$. Aucun multiplicateur unique ne transforme les deux composantes initiales en celles de l’image : ce vecteur n’est donc pas propre.

Si $\mathbf v$ est propre, tout multiple non nul $c\mathbf v$ l’est aussi, pour la même valeur propre, car $A(c\mathbf v)=cA\mathbf v=\lambda(c\mathbf v)$. Un vecteur propre n’a donc pas besoin d’être unitaire et sa longueur n’est généralement pas imposée.

2. Trouver le nombre, puis les vecteurs

Réécrivons l’équation à l’aide de la matrice identité $I$, qui laisse chaque vecteur inchangé :

$$A\mathbf v=\lambda\mathbf v\iff(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf0.$$

Pour une matrice d’ordre $n$ comportant $n$ lignes et colonnes, ce système homogène admet une solution non nulle exactement lorsque $A-\lambda I$ est singulière, c’est-à-dire non inversible. Le déterminant permet de détecter cette condition :

$$\boxed{\det(A-\lambda I)=0.}$$

C’est l’équation caractéristique. Elle donne les valeurs propres, pas les vecteurs propres. Soustrayez $\lambda$ uniquement aux éléments de la diagonale. En deux dimensions,

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

donne

$$\begin{aligned}&\det(A-\lambda I)\\&=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.\end{aligned}$$

1. Trouver les valeurs propres. Résolvez l’équation caractéristique.
2. Trouver les vecteurs pour chaque valeur. Remplacez cette valeur dans $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf0$, puis résolvez le système. Conservez les paramètres libres.
3. Distinguer l’espace de ses vecteurs propres. L’ensemble des solutions $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ est le sous-espace propre. Le noyau est l’ensemble des vecteurs que cette matrice envoie sur zéro. Le sous-espace propre contient le vecteur nul; ses vecteurs non nuls sont les vecteurs propres.
4. Vérifier avec la matrice initiale. Calculez séparément $A\mathbf v$ et $\lambda\mathbf v$. Toutes les composantes doivent coïncider et $\mathbf v$ doit être non nul.

3. Exemple résolu : deux directions propres

Trouvez toutes les valeurs propres et tous les vecteurs propres de

$$A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}.$$

1. Trouver les deux valeurs propres

   $$\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=(3-\lambda)^2-1\\&=(\lambda-4)(\lambda-2).\end{aligned}$$

   En annulant cette expression, on obtient $\lambda=4$ et $\lambda=2$.

2. Résoudre le système pour chaque valeur propre

   Pour $\lambda=4$,

   $$\begin{aligned}&(A-4I)\mathbf v\\&=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\mathbf0.\end{aligned}$$

   Les deux équations donnent $y=x$, donc

   $$E_4=\left\{t\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}:t\in\mathbb R\right\}.$$

   Pour $\lambda=2$,

   $$(A-2I)\mathbf v=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\mathbf0.$$

   Cette fois, les deux équations donnent $y=-x$, donc

   $$E_2=\left\{t\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}:t\in\mathbb R\right\}.$$

   Chaque sous-espace propre est une droite passant par l’origine. Pour en donner les vecteurs propres, on impose $t\ne0$. Le paramètre peut être positif ou négatif.

3. Vérifier un vecteur non nul sur chaque droite

   $$A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},$$

   $$A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.$$

   La linéarité étend chaque vérification à tous les multiples sur la droite correspondante. Ce sont tous les vecteurs propres : l’équation caractéristique n’a pas d’autres racines et chaque système associé a été entièrement résolu.

Le vecteur $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ n’est sur aucune de ces deux droites. Son image $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ n’en est pas un multiple scalaire. L’existence de deux directions propres ne rend pas tous les vecteurs propres.

4. Exemple résolu : une valeur propre nulle

La projection sur l’axe horizontal est représentée par

$$P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},$$

$$P\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}.$$

L’équation caractéristique est $(1-\lambda)(-\lambda)=0$, donc les valeurs propres sont $1$ et $0$.

• Pour $\lambda=1$, résolvez $(P-I)\mathbf v=\mathbf0$. On obtient $y=0$ : tout vecteur horizontal non nul reste inchangé.
• Pour $\lambda=0$, résolvez $P\mathbf v=\mathbf0$. On obtient $x=0$ : tout vecteur vertical non nul a pour image l’origine.

Par exemple,

$$P\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=0\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}.$$

Le vecteur initial est non nul, donc il convient. L’image nulle n’a pas de direction; on ne l’appelle pas vecteur propre. Plus généralement, zéro est une valeur propre d’une matrice carrée exactement lorsque celle-ci est singulière. Son sous-espace propre associé à zéro est son noyau.

Une projection ne rend pas tout vecteur propre : $P\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, qui n’est pas un multiple du vecteur initial.

5. Ce qu’une valeur propre répétée ne dit pas

Dans le plan, deux vecteurs non nuls sont linéairement indépendants si aucun n’est un multiple scalaire de l’autre. Une base d’un espace est un ensemble de vecteurs indépendants permettant d’écrire chaque vecteur de cet espace, de façon unique, comme une somme de multiples scalaires de ces vecteurs. Un vecteur non nul forme une base d’une droite; deux vecteurs indépendants forment une base du plan. Leurs dimensions sont respectivement un et deux.

Comparons

$$B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix},$$

$$C=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}.$$

Les deux matrices ont pour équation caractéristique $(2-\lambda)^2=0$. La racine $2$ apparaît deux fois : sa multiplicité algébrique est donc deux. Cela ne donne pas le nombre de vecteurs propres indépendants.

• Pour $B$, le système $(B-2I)\mathbf v=\mathbf0$ donne $y=0$. Son sous-espace propre est une droite, de base $\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\}$.
• Pour $C$, la matrice $C-2I$ est nulle. Tous les vecteurs réels résolvent le système : le sous-espace propre est le plan entier. Tout vecteur non nul est propre.

La dimension d’un sous-espace propre est la multiplicité géométrique de la valeur propre : un pour $B$, deux pour $C$. Il existe une infinité de vecteurs propres dans chaque cas; la différence est le nombre maximal de vecteurs propres linéairement indépendants que l’on peut choisir dans ce sous-espace. Il faut résoudre le système pour le déterminer.

Diagonaliser signifie choisir une base dans laquelle la même application linéaire a une matrice diagonale. Une matrice réelle d’ordre deux est diagonalisable sur les réels exactement lorsqu’elle possède deux vecteurs propres réels linéairement indépendants. Ainsi, $B$ n’est pas diagonalisable, tandis que $C$ est déjà diagonale. Une valeur propre répétée ne suffit pas à décider.

6. Cinq exercices à essayer

Gardez d’abord les réponses fermées. Commencez par des vérifications directes, puis trouvez un sous-espace propre complet, corrigez un raccourci trompeur et étudiez une rotation. Les indices sont séparés des réponses.

7. Vérifier son raisonnement et poursuivre

• Pouvez-vous expliquer l’effet du signe et de la valeur absolue d’une valeur propre sur un vecteur non nul?
• Avez-vous soustrait la valeur propre uniquement sur la diagonale, puis résolu le système homogène obtenu?
• Avez-vous donné le sous-espace propre complet, puis exclu zéro pour énumérer les vecteurs propres?
• Avez-vous vérifié chaque représentant avec la matrice initiale, plutôt qu’avec le seul déterminant?
• Pour une racine répétée, avez-vous compté les vecteurs indépendants en résolvant le système?

Si la multiplication ou les paramètres libres posaient problème, revenez aux bases sur les matrices et les vecteurs. Si les calculs fonctionnaient, expliquez la différence entre $B$ et $C$ sans regarder la section 5, puis utilisez vos documents de cours pour poursuivre avec les changements de base et la diagonalisation.

Pour situer la notion dans l’ensemble du cours, consultez les guides de MATH 204 à Concordia et de MATH 133 à McGill.

Contexte des cours et lectures complémentaires

Cette leçon originale accompagne les notions de valeurs propres et de vecteurs propres de MATH 204 à Concordia et de MATH 133 à McGill. Consultez votre propre plan de cours pour connaître la matière qui vous est assignée. Les liens suivants établissent la pertinence du sujet et proposent des explications complémentaires.

• Concordia : plans de cours officiels de mathématiques et de statistique (en anglais)
• McGill : description officielle de MATH 133 (en anglais)
• MIT OpenCourseWare : valeurs propres et vecteurs propres (en anglais)