Équations à variables séparables : six questions de la mise en équation à l’interprétation

La séparation exige un produit d’une fonction de $x$ et d’une fonction de $y$. Distinguez un zéro du numérateur d’une valeur où l’équation originale n’est pas définie.

(a) est à variables séparables. L’équilibre est $y=2$. En dehors de cette valeur,

$$\frac{dy}{y-2}=3x\,dx.$$

(b) donne $y'=x-2y$, une équation linéaire dont ces variables ne sont pas séparables sur une région ouverte. Écrire $dy/y=(x-2)\,dx$ remplacerait incorrectement $x/y$ par $x$. Utilisez les facteurs intégrants.

(c) est à variables séparables sur les intervalles qui excluent $x=0$. La solution constante $y=0$ est valide sur un tel intervalle. Pour $y$ non nul,

$$\begin{gathered}\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}, \\ x\ne0.\end{gathered}$$

Cette équation est aussi linéaire. Diviser par $y$ ne supprime pas la restriction originale $x\ne0$.

Les variables sont séparables, avec $y=-1$ comme équilibre. Pour $y\ne-1$, utilisez $dy/(y+1)=x\,dx$.

La relation intégrée est $\ln|y-2|=3x^2/2+C$. Au point initial, $y-2$ est positif.

La solution constante $y=2$ convient dans l’équation originale, mais pas à cette valeur initiale. Remplacer $x=0$, $y=4$ dans la relation intégrée donne $C=\ln2$. Ainsi,

$$y=2+2e^{3x^2/2}.$$

Sa dérivée est $6xe^{3x^2/2}$; le membre de droite original est $3x(2e^{3x^2/2})$, soit la même expression. À zéro, elle donne 4. Elle est dérivable sur $\mathbb R$, et $y-2>0$ partout : la division est donc compatible avec cette solution.

La valeur absolue est nécessaire avant que la condition initiale choisisse un signe. Une branche où $y-2$ est négatif serait permise pour d’autres données.

(a) donne $y=2-e^{3x^2/2}$ sur $\mathbb R$. Sa dérivée est $-3xe^{3x^2/2}=3x(y-2)$, et sa valeur à zéro est 1. (b) donne l’équilibre $y=2$. La relation logarithmique n’accepte pas $y-2=0$; vérifiez ce cas directement.

« Proportionnel à l’effectif actuel » signifie $N'=0.08N$. Gardez les unités du coefficient et comparez $N(1)/N(0)$ à $1.08$.

Le modèle est $N'=0.08N$, avec l’équilibre $N=0$. Pour la valeur initiale positive,

$$\begin{gathered}\ln\left(\frac{N(t)}{250}\right)=0.08t, \\ N(t)=250e^{0.08t}.\end{gathered}$$

La dérivation donne $N'=20e^{0.08t}=0.08N$, et $N(0)=250$. Son intervalle mathématique est $\mathbb R$; le modèle vers l’avenir utilise $t\ge0$.

Le doublement exige $e^{0.08t}=2$, donc $t=\ln2/0.08\approx8.664$ années. Le facteur de la première année est $e^{0.08}\approx1.083287$, soit une hausse d’environ 8,329 %. Le coefficient 0,08 décrit le taux relatif instantané, et non une variation annuelle discrète en pourcentage. L’effectif réel est entier; ce modèle continu est une approximation.

$N(t)=250e^{-0.08t}$. Sa dérivée est $-0.08N$, et sa valeur à zéro est 250. En l’égalant à 125, on obtient $t=\ln2/0.08\approx8.664$ années. Elle approche zéro sans l’atteindre en un temps fini.

L’équation exige $y\ne0$. Multiplier par $y$ donne $y\,dy=x\,dx$. La valeur initiale choisit un des signes de la racine carrée.

L’intégration donne $y^2/2=x^2/2+C$. Au point initial, $C=2$, donc $y^2=x^2+4$. La valeur initiale est négative, ce qui sélectionne

$$y=-\sqrt{x^2+4}.$$

La dérivée est $-x/\sqrt{x^2+4}$, égale à $x/y$. La fonction vaut $-2$ à zéro et n’atteint jamais zéro; son intervalle maximal est donc $\mathbb R$. Conserver les deux signes dans la réponse au problème à valeur initiale inclurait une branche ayant la mauvaise valeur initiale.

La fonction $y=0$ n’est pas un équilibre : le membre de droite original n’y est pas défini. L’équation obtenue par multiplication n’élargit pas le domaine original.

$y^2=x^2+9$, et la valeur initiale positive sélectionne $y=\sqrt{x^2+9}$ sur $\mathbb R$. Sa dérivée est $x/\sqrt{x^2+9}=x/y$, et $y(0)=3$.

Notez d’abord $y=0$. Pour $y$ non nul, intégrez $y^{-2}\,dy=2x\,dx$. Cherchez la singularité la plus proche de chaque côté de zéro.

L’équilibre $y=0$ satisfait l’équation, mais pas cette valeur initiale. La séparation donne $-1/y=x^2+C$, et $y(0)=1$ donne $C=-1$. Ainsi,

$$y=\frac1{1-x^2}.$$

Sa dérivée est $2x/(1-x^2)^2=2xy^2$, et sa valeur à zéro est 1. Les pôles sont $x=-1$ et $x=1$. L’intervalle maximal contenant l’entrée initiale est $(-1,1)$. Les deux intervalles extérieurs portent aussi des branches de cette formule, mais ils sont disjoints du point prescrit. La solution ne peut traverser aucune des deux explosions vers l’infini.

La constante est maintenant $C=1$, donc $y=-1/(1+x^2)$. Son dénominateur ne s’annule jamais pour $x$ réel; l’intervalle maximal est $\mathbb R$. Sa dérivée $2x/(1+x^2)^2$ égale $2xy^2$, et sa valeur initiale est $-1$. Changer la valeur initiale peut changer l’intervalle.

Utilisez $1/[P(1-P/500)]=1/P+1/(500-P)$ pour $P\ne0,500$. Sur la branche passant par 100, les deux arguments logarithmiques sont positifs. La forme générale non nulle peut s’écrire $P=500/(1+Ae^{-0.2t})$.

Les équilibres sont $P=0$ et $P=500$, vérifiés dans l’équation originale. La séparation entre eux donne

$$\ln\left(\frac P{500-P}\right)=0.2t+C.$$

À zéro, le rapport vaut $1/4$, d’où

$$P(t)=\frac{500}{1+4e^{-0.2t}}.$$

En posant $D=1+4e^{-0.2t}$, la dérivation donne $P'=400e^{-0.2t}/D^2$. Le membre de droite original est $0.2(500/D)(4e^{-0.2t}/D)$, exactement la même expression. La valeur initiale est 100, et le dénominateur est positif sur $\mathbb R$. Utilisez $t\ge0$ pour le modèle de population vers l’avenir.

Poser $P=250$ donne $4e^{-0.2t}=1$, donc $t=\ln4/0.2\approx6.931$ années. La population croît vers 500 et reste sous cette valeur à tout temps fini. Au-dessus de 500, la dérivée du modèle est négative : une population initiale positive supérieure à la capacité décroît donc vers celle-ci au fil du temps.

La constante est $A=500/1000-1=-1/2$, donc

$$P(t)=\frac{500}{1-\tfrac12e^{-0.2t}}.$$

Elle a un pôle à $t=-\ln2/0.2$. L’intervalle maximal contenant zéro est $(-\ln2/0.2,\infty)$. Pour $t\ge0$, le dénominateur est compris entre $1/2$ et 1; la population reste au-dessus de 500 et décroît vers cette valeur. La dérivée est

$$P'=-\frac{50e^{-0.2t}}{(1-\tfrac12e^{-0.2t})^2},$$

ce qui égale le membre de droite logistique original. On obtient $P'(0)=-200$ personnes par année, également donné par $0.2(1000)(1-1000/500)$. L’argument précédent selon lequel le dénominateur reste positif pour tout temps réel ne s’applique pas à cette nouvelle valeur initiale.