Exercices d’intégration : méthodes, aires et volumes

Utilisez $\Delta t=2/n$, $t_k=2k/n$ et $\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2$. L’unité d’un rectangle est $(\mathrm{m/s})(\mathrm{s})$.

Soit $n$ un entier strictement positif. Chacun des $n$ sous-intervalles égaux de $[0,2]$ a pour largeur $\Delta t=2/n$, mesurée en secondes. L’indice $k=1,\ldots,n$ numérote ces sous-intervalles de gauche à droite : le $k$-ième est $[2(k-1)/n,2k/n]$, et son extrémité droite est $t_k=2k/n$. Le produit $v(t_k)\Delta t$ estime le déplacement pendant ce sous-intervalle. On note $S_n$ l’estimation du déplacement total, en mètres; le symbole de sommation additionne ces $n$ contributions.

La somme à droite est $$\begin{gathered}S_n=\sum_{k=1}^n v(t_k)\Delta t\\=\sum_{k=1}^n\left(1+\frac{4k}{n}\right)\frac2n.\end{gathered}$$ Le facteur $\Delta t$ est indispensable : additionner des vitesses ne donne pas un déplacement.

Pour calculer la somme, utilisez $\sum_{k=1}^n 1=n$ et $\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2$.

Séparez la somme et simplifiez : $$S_n=2+\frac8{n^2}\frac{n(n+1)}2=6+\frac4n.$$ Donc $S_4=7\,\mathrm m$. Les quatre vitesses sont 2, 3, 4 et 5 m/s, chacune multipliée par 0,5 s.

La limite vaut $$\lim_{n\to\infty}S_n=6\,\mathrm m=\int_0^2(1+2t)\,dt.$$ La vitesse augmente : chaque rectangle à droite surestime l’aire correspondante. La vitesse reste positive, donc le déplacement et la distance parcourue valent tous deux 6 m.

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L’aire du trapèze donne aussi $\tfrac12(1+5)(2)=6$. L’estimation doit être supérieure à cette valeur.

Erreurs fréquentes

• Oublier la largeur des rectangles.
• Utiliser n+1 points d’échantillonnage pour n rectangles.
• Assimiler toute intégrale d’une vitesse à une distance sans vérifier le signe de la vitesse.

La borne supérieure est $g(x)=x^2$. Le théorème fondamental donne l’intégrande évalué en $g(x)$, multiplié par $g^{\prime}(x)$.

Pour $x=1$, $$A(1)=\left[t+\frac{t^4}{4}\right]_0^1=\frac54.$$

L’intégrande $1+t^3$ est continu sur $[0,4]$, qui contient tous les intervalles d’intégration puisque $0\le x^2\le4$. Appliquez le théorème fondamental et la règle de la chaîne : $$\begin{gathered}A^{\prime}(x)=(1+(x^2)^3)(2x)\\=2x(1+x^6).\end{gathered}$$ Ici, $t$ est la variable muette d’intégration et $x$ détermine la borne. Remplacer $t$ par $x$, ou oublier le facteur $2x$, néglige cette dépendance.

Un autre calcul donne $A(x)=x^2+x^8/4$. Sa dérivée est $2x+2x^7$, ce qui confirme le résultat.

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Pour $0<x<2$, la borne augmente et l’intégrande est positif, donc $A^{\prime}(x)>0$.

Erreurs fréquentes

• Écrire $1+x^3$ au lieu d’évaluer l’intégrande en $x^2$.
• Écrire $1+x^6$ sans multiplier par $2x$.

La dérivée du dénominateur apparaît au numérateur. Essayez $u=1+x^2$.

Posez $u=1+x^2$, donc $du=2x\,dx$. Les bornes deviennent $u(0)=1$ et $u(1)=2$.

Alors $$I=\int_1^2\frac{du}{u}=[\ln u]_1^2=\ln2.$$ Comme $u>0$, le logarithme est défini sur tout le nouvel intervalle.

Une primitive en la variable initiale est aussi $\ln(1+x^2)$; sa dérivée redonne l’intégrande. Réutilisez les bornes en x seulement après être revenu à x.

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Sur $[1,2]$, $1/2\le1/u\le1$, donc $1/2\le I\le1$. La valeur $\ln2\approx0{,}6931$ convient.

Erreurs fréquentes

• Conserver les bornes 0 et 1 dans une intégrale en u.
• Perdre le facteur 2 ou conserver un x inexpliqué après le changement de variable.

Dériver x le simplifie. Intégrer $e^{2x}$ conserve la forme de la fonction, mais introduit un facteur $1/2$.

Choisissez $u=x$ et $dv=e^{2x}dx$. Alors $du=dx$ et $v=e^{2x}/2$.

L’intégration par parties donne $$\begin{gathered}J=\left[\frac{xe^{2x}}2\right]_0^1-\frac12\int_0^1e^{2x}\,dx\\=\frac{e^2}2-\frac{e^2-1}4\\=\frac{e^2+1}4.\end{gathered}$$

L’intégrale restante est plus simple puisque le facteur polynomial a disparu. Une primitive est $e^{2x}(2x-1)/4$.

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La dérivée de $e^{2x}(2x-1)/4$ est $xe^{2x}$. De plus, $x\le xe^{2x}\le e^2x$ sur $[0,1]$, donc $1/2\le J\le e^2/2$. Le résultat $\approx2{,}0973$ respecte ces bornes.

Erreurs fréquentes

• Prendre $v=e^{2x}$ au lieu de $e^{2x}/2$.
• Perdre le signe moins dans la formule d’intégration par parties.
• Oublier la contribution de la borne inférieure dans l’évaluation de la primitive.

Factorisez le dénominateur : $(x+1)(x+2)$. Écrivez la fraction sous la forme $a/(x+1)+b/(x+2)$.

Le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur : aucune division polynomiale n’est nécessaire. Le dénominateur se factorise en $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, produit de deux facteurs linéaires distincts. Les fractions partielles sont utiles parce qu’elles expriment l’intégrande comme une somme de fractions plus simples dont les primitives sont des logarithmes. Soient $a$ et $b$ deux constantes réelles à déterminer. Pour $x\ne-1$ et $x\ne-2$, écrivons $$\begin{gathered}\frac{x+3}{x^2+3x+2}\\=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+2}.\end{gathered}$$ Multiplier la décomposition proposée par $(x+1)(x+2)$ donne $$x+3=a(x+2)+b(x+1).$$ En comparant les coefficients, $a+b=1$ et $2a+b=3$. Donc $a=2$ et $b=-1$.

Recombinez pour vérifier : $$\begin{gathered}\frac2{x+1}-\frac1{x+2}\\=\frac{2(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}\\=\frac{x+3}{x^2+3x+2}.\end{gathered}$$

Les deux facteurs sont positifs sur $[0,1]$. Ainsi, $$\begin{gathered}K=[2\ln(x+1)-\ln(x+2)]_0^1\\=3\ln2-\ln3\\=\ln\frac83.\end{gathered}$$ Sur tout intervalle où le dénominateur est non nul, la primitive s’écrit $2\ln|x+1|-\ln|x+2|+C$.

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L’intégrande est positif sur l’intervalle; $K=\ln(8/3)\approx0{,}9808>0$. Dérivez la primitive logarithmique pour une deuxième vérification.

Erreurs fréquentes

• Choisir des coefficients sans vérifier en recomposant la fraction.
• Évaluer la primitive en x=1 sans soustraire sa valeur en x=0.
• Oublier les restrictions du domaine dans les expressions logarithmiques.

(a) Réservez un facteur $\sin t\,dt$ et remplacez le facteur $\sin^2t$ restant par une identité. (b) La substitution $x=3\sin\theta$ transforme $9-x^2$ en $9\cos^2\theta$. Choisissez un intervalle où le signe de la racine est déterminé.

(a) L’intégrande est déjà trigonométrique. Écrivez $\sin^3t\cos^2t=(1-\cos^2t)\cos^2t\sin t$. Posez $u=\cos t$, $du=-\sin t\,dt$. Alors $$\begin{gathered}\int\sin^3t\cos^2t\,dt\\=-\int(u^2-u^4)du\\=-\frac{\cos^3t}{3}+\frac{\cos^5t}{5}+C.\end{gathered}$$

(b) Le point de départ est un radical algébrique. Le choix $u=9-x^2$ n’absorbe pas directement le facteur $x^2dx$; une substitution trigonométrique traite le radical de façon systématique. Posez $$\begin{gathered}x=3\sin\theta,\\0<\theta<\frac\pi2,\\dx=3\cos\theta\,d\theta.\end{gathered}$$ Cet intervalle correspond exactement à $0<x<3$ et garantit $\cos\theta>0$. Ainsi, $\sqrt{9-x^2}=3\cos\theta$, avec un signe bien déterminé.

Après substitution de tous les facteurs, $$\begin{gathered}\int\frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx\\=9\int\sin^2\theta\,d\theta\\=\frac92\theta-\frac94\sin(2\theta)+C.\end{gathered}$$ La dernière étape utilise $\sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2$.

La notation $\arcsin$ désigne la fonction réciproque du sinus à valeurs dans $[-\pi/2,\pi/2]$. Pour revenir à x, utilisez $$\begin{gathered}\theta=\arcsin(x/3),\\\sin\theta=x/3,\\\cos\theta=\sqrt{9-x^2}/3.\end{gathered}$$ Donc $\sin2\theta=2x\sqrt{9-x^2}/9$, et la réponse est $$\frac92\arcsin(x/3)-\frac{x\sqrt{9-x^2}}2+C.$$ Le triangle rectangle de la figure représente ces rapports; il s’applique à l’intervalle positif indiqué pour x.

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En (a), la dérivée vaut $\sin t\cos^2t(1-\cos^2t)=\sin^3t\cos^2t$.

En (b), posez $r=\sqrt{9-x^2}>0$. La dérivée est $$\frac9{2r}-\frac r2+\frac{x^2}{2r}=\frac{x^2}{r},$$ ce qui redonne l’intégrande.

Erreurs fréquentes

• En (a), perdre le signe moins de $du=-\sin t\,dt$.
• En (b), oublier le 3 dans $dx$ ou le facteur 9 qui en résulte.
• Remplacer $\sqrt{\cos^2\theta}$ par $\cos\theta$ sans vérifier l’intervalle de l’angle.
• Laisser un mélange de x et de θ dans la réponse finale.
• Utiliser un côté du triangle à la place d’un rapport trigonométrique.

Résolvez $x^2=x$. Testez un point entre les intersections ou factorisez $x-x^2$ pour déterminer son signe.

Les intersections vérifient $x(x-1)=0$, donc $x=0$ et $x=1$. Sur $0<x<1$, $x-x^2=x(1-x)>0$, donc $y=x$ est au-dessus de $y=x^2$.

Une bande verticale a pour hauteur $x-x^2$. Son aire s’accumule ainsi : $$\begin{gathered}B=\int_0^1(x-x^2)\,dx\\=\left[\frac{x^2}2-\frac{x^3}3\right]_0^1\\=\frac16.\end{gathered}$$ L’aire vaut $1/6$ unité carrée du repère.

Vérifier le résultat

La hauteur de la bande est comprise entre 0 et 1/4, et l’intervalle a une largeur de 1. Donc $0<B<1/4$. La valeur $1/6$ convient.

Erreurs fréquentes

• Diviser par x en cherchant les intersections et perdre x=0.
• Inverser l’ordre de la soustraction entre courbe supérieure et courbe inférieure.
• Lire les bornes sur le dessin sans résoudre les équations d’intersection.

Un rayon est une distance à la droite $y=-1$. Les deux frontières sont au-dessus de cet axe. Soustrayez les aires des deux disques; ne soustrayez pas les rayons avant de mettre au carré.

Utilisez des tranches verticales pour $0\le x\le1$. La courbe supérieure $y=x$ est la plus éloignée de l’axe : $$R(x)=x-(-1)=x+1.$$ La courbe inférieure donne $$r(x)=x^2-(-1)=x^2+1.$$ Un espace sépare la région de l’axe, donc la section présente un trou central.

L’aire d’une section est $$\begin{gathered}C(x)=\pi\{R(x)^2-r(x)^2\}\\=\pi\{(x+1)^2-(x^2+1)^2\}.\end{gathered}$$ Ainsi, $$\begin{gathered}V=\pi\int_0^1(2x-x^2-x^4)\,dx\\=\pi\left[x^2-\frac{x^3}3-\frac{x^5}5\right]_0^1\\=\frac{7\pi}{15}.\end{gathered}$$ Le résultat est en unités cubiques du repère.

La hauteur verticale de la région, $x-x^2$, vaut $R-r$. Mettre cette hauteur au carré donne $(R-r)^2$, et non $R^2-r^2$; on perd alors l’information sur la distance de la tranche à l’axe de rotation.

Vérifier le résultat

Sur $[0,1]$, $R\ge r>0$, donc chaque aire de section est positive ou nulle. De plus, $$R^2-r^2=(x-x^2)(x+x^2+2).$$ Le deuxième facteur est compris entre 2 et 4. La question 7 donne donc $\pi/3\le V\le2\pi/3$. La valeur $7\pi/15$ respecte ces bornes.

Erreurs fréquentes

• Mesurer les rayons depuis y=0 au lieu de y=-1.
• Utiliser un disque et remplir le trou central.
• Mettre la différence des rayons au carré au lieu de soustraire leurs carrés.
• Intégrer en y tout en utilisant des tranches verticales et des bornes en x.