Lois de Faraday et de Lenz : flux, signes et sens du courant

1. Trouver le sens sans dériver

Imaginez une boucle conductrice fermée posée à plat sur cette page. Vous regardez la page de face. « Sortant de la page » signifie vers vous; « entrant dans la page » signifie en s’éloignant de vous. Un point représente la pointe d’une flèche dirigée vers vous. Une croix représente l’arrière d’une flèche qui s’éloigne.

Gardons l’aire et l’orientation de la boucle fixes, dans un champ extérieur uniforme et perpendiculaire à son plan. Les sens ci-dessous concernent une boucle résistive dont l’auto-inductance est négligeable : son courant suit donc la f.é.m. induite. Nous utilisons le courant conventionnel, dans le sens où se déplaceraient des charges positives.

La loi de Lenz demande quel effet aurait le champ créé par le courant induit sur la variation du flux. Un champ sortant qui augmente appelle un champ induit entrant. Un champ sortant qui diminue appelle un champ induit sortant : la réponse s’oppose à la diminution.

1. Champ extérieur sortant, de plus en plus intense : champ induit entrant; courant horaire.
2. Champ extérieur sortant, de moins en moins intense : champ induit sortant; courant antihoraire.
3. Champ extérieur entrant, de plus en plus intense : champ induit sortant; courant antihoraire.
4. Champ extérieur entrant, de moins en moins intense : champ induit entrant; courant horaire.

Pour vérifier avec la main droite, pointez le pouce dans le sens du champ induit. Vos doigts repliés donnent le sens du courant conventionnel. Pouce vers vous : courant antihoraire. Pouce à l’opposé de vous : courant horaire.

Formulez la raison complète : « Le flux entrant diminue; le champ induit est donc entrant pour s’opposer à cette diminution. Vu de face, le courant est horaire. » Dire « il s’oppose au champ » donnerait ici le mauvais résultat. La réponse n’annule pas nécessairement le champ appliqué et n’arrête pas complètement sa variation.

Si la boucle, son orientation et le champ extérieur restent tous inchangés, aucune f.é.m. n’est induite. Une boucle ouverte peut tout de même présenter une f.é.m. induite, sans courant de conduction circulant de façon soutenue. Les réponses donnant un courant dans cette leçon supposent un circuit fermé.

2. Choisir une normale et le bon angle

Une normale est une direction perpendiculaire à une surface. Choisissez un côté positif de la boucle et dessinez le vecteur unitaire normal $\hat{\mathbf n}$ vers ce côté. Pour une boucle plane dans un champ magnétique uniforme :

$$\Phi_B=BA\cos\theta$$

• $B$ est l’intensité du champ extérieur, en teslas ($\mathrm T$).
• $A$ est l’aire délimitée par une spire, en mètres carrés ($\mathrm{m^2}$).
• $\theta$ est l’angle entre la normale choisie et le champ, de $0^\circ$ à $180^\circ$.
• $\Phi_B$ est le flux magnétique algébrique à travers une spire, en webers : $1\,\mathrm{Wb}=1\,\mathrm T\,\mathrm{m^2}$.

Seule la composante suivant la normale compte. Un champ dirigé selon la normale positive donne $+BA$; un champ de sens opposé donne $-BA$. Un champ parallèle au plan donne un flux nul, même s’il est intense. Ce produit simple suppose un champ uniforme sur l’aire; pour un champ non uniforme, il faut additionner les contributions des différentes parties de la surface.

Exemple résolu 1 : 30° avec le plan, c’est 60° avec la normale

Une boucle rectangulaire mesure $0{,}20\,\mathrm m$ sur $0{,}15\,\mathrm m$. Un champ uniforme de $0{,}40\,\mathrm T$ fait un angle de $30^\circ$ avec son plan et pointe vers le côté positif choisi. Trouvez le flux.

$$A=(0{,}20)(0{,}15)=0{,}030\,\mathrm{m^2}$$

$$\theta=90^\circ-30^\circ=60^\circ$$

$$\Phi_B=(0{,}40)(0{,}030)\cos60^\circ$$

$$\Phi_B=0{,}0060\,\mathrm{Wb}=6{,}0\,\mathrm{mWb}$$

On peut aussi utiliser $BA\sin30^\circ$ dans cette géométrie. Employer $BA\cos30^\circ$ donnerait environ $10{,}4\,\mathrm{mWb}$, car on sélectionnerait la mauvaise composante.

Vérifiez les cas limites : si le champ est exactement dans le plan, l’angle avec la normale vaut $90^\circ$ et le flux est nul. S’il suit la normale positive, le flux vaut $12\,\mathrm{mWb}$. Notre réponse est entre ces valeurs. Une seule valeur de flux ne détermine pas encore la f.é.m. : il faut savoir comment le flux évolue dans le temps.

Changer de convention et tourner la boucle sont deux opérations différentes. Si vous remplacez simplement $\hat{\mathbf n}$ par $-\hat{\mathbf n}$ sans modifier la boucle physique, le flux algébrique change de signe. Si vous faites réellement tourner la boucle dans un champ fixe, son flux peut varier dans le temps et produire une f.é.m.

3. Passer du flux variable à la f.é.m. algébrique

Après avoir choisi la normale, utilisez la main droite pour fixer le sens positif autour du fil. Si la normale pointe vers notre observateur de face, le sens positif est antihoraire. Une f.é.m. positive entraîne un courant dans ce sens dans le modèle résistif; une f.é.m. négative l’entraîne dans le sens horaire.

Pour une bobine de $N$ spires reliées en série, traversées chacune par le même flux $\Phi_B$, la loi de Faraday donne la force électromotrice induite moyenne sur un intervalle :

$$\overline{\mathcal E}=-N\frac{\Phi_{B,f}-\Phi_{B,i}}{t_f-t_i}$$

Ici, $t_i$ et $t_f$ sont les instants initial et final; $\Phi_{B,i}$ et $\Phi_{B,f}$ sont les flux par spire correspondants. La barre indique une moyenne temporelle.

Malgré son nom, la force électromotrice (f.é.m.) se mesure en volts, pas en newtons. Elle représente l’énergie transférée par unité de charge le long du circuit. Le produit $N\Phi_B$ est le flux total couplé à la bobine. Si l’énoncé fournit déjà ce produit, ne multipliez pas de nouveau par $N$.

Lorsqu’un graphique flux-temps est une droite sur un intervalle, sa pente est constante : ce calcul donne aussi la f.é.m. instantanée à l’intérieur de cet intervalle. Sur une portion courbe, il donne une moyenne temporelle; pour un instant précis, il faut la pente de la tangente.

• Flux algébrique croissant : pente positive, f.é.m. négative.
• Flux algébrique décroissant : pente négative, f.é.m. positive.
• Flux algébrique constant : pente nulle, f.é.m. nulle, que le flux soit nul ou non.

Conservez le signe jusqu’à son interprétation en un sens. Pour la valeur absolue seulement, prenez $|\mathcal E|$. Vérification des unités : $\mathrm{Wb/s}=\mathrm V$; une pente en $\mathrm{mWb/s}$ donne des millivolts par spire.

Quand peut-on utiliser courant = f.é.m. ÷ résistance?

Nos calculs de courant supposent un circuit fermé, purement résistif, de résistance totale $R>0$, sans autre source de f.é.m., avec auto-inductance et effets capacitifs négligeables :

$$I=\frac{\mathcal E}{R}$$

Le courant algébrique utilise le même sens positif que la f.é.m. L’auto-inductance décrit la réponse d’une bobine aux variations de son propre courant. Si elle est importante, le courant peut être en retard sur la f.é.m. extérieure ou persister brièvement après son annulation. Alors $I=\mathcal E_{\mathrm{ext}}/R$ ne suffit pas à décrire le régime transitoire. Les conclusions de courant nul ci-dessous concernent notre approximation résistive, pas toutes les bobines réelles.

Dans les exemples suivants, $\Phi_B$ désigne le flux du champ extérieur. Nous négligeons la contribution auto-induite de la bobine lorsque nous appliquons l’approximation résistive.

4. Lire un graphique flux-temps par morceaux

Exemple résolu 2 : la hauteur donne le flux; la pente donne la f.é.m.

Une bobine immobile possède $80$ spires, chacune d’aire $0{,}020\,\mathrm{m^2}$, et une résistance totale de $12\,\Omega$. Le champ extérieur est uniforme et perpendiculaire au plan de la bobine. Choisissez la normale sortant de la page et regardez de face. Le graphique donne le flux algébrique par spire; les points indiqués sont reliés par des segments de droite.

De 0 à 2 s : pente positive

$$\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=\frac{8-2}{2-0}=3\,\mathrm{mWb/s}$$

$$\mathcal E=-80(3\times10^{-3})=-0{,}240\,\mathrm V$$

$$I=\frac{-0{,}240}{12}=-0{,}0200\,\mathrm A$$

Le courant vaut $20{,}0\,\mathrm{mA}$ dans le sens horaire. Le flux sortant augmente; le champ induit pointe donc vers l’intérieur de la page.

De 2 à 4 s : flux non nul, pente nulle

Le flux reste à $8\,\mathrm{mWb}$. Ainsi, $\mathcal E=0$ et $I=0$ dans notre modèle. Le champ extérieur vaut pourtant $B=0{,}008/0{,}020=0{,}40\,\mathrm T$, vers l’extérieur. Une f.é.m. nulle n’implique pas un champ nul.

De 4 à 5 s : pente négative et passage par un flux nul

$$\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=\frac{-4-8}{5-4}=-12\,\mathrm{mWb/s}$$

$$\mathcal E=-80(-12\times10^{-3})=+0{,}960\,\mathrm V$$

$$I=\frac{0{,}960}{12}=+0{,}0800\,\mathrm A$$

Le courant vaut $80{,}0\,\mathrm{mA}$ dans le sens antihoraire sur tout cet intervalle ouvert. Au début, le champ sortant diminue; après le passage par un flux nul, le champ entrant augmente. Ces deux variations appellent un champ induit sortant. Le passage par un flux nul n’annule pas la f.é.m.

De 5 à 7 s : flux négatif et pente positive

$$\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}=\frac{0-(-4)}{7-5}=2\,\mathrm{mWb/s}$$

$$\mathcal E=-80(2\times10^{-3})=-0{,}160\,\mathrm V$$

$$I=-0{,}0133\,\mathrm A\quad\text{environ}$$

Le courant vaut environ $13{,}3\,\mathrm{mA}$ dans le sens horaire. Le champ extérieur entrant diminue; le champ induit pointe donc vers l’intérieur. Le seul signe du flux ne détermine pas celui de la f.é.m.

Aux angles du graphique : les pentes à gauche et à droite diffèrent pour $t=2,4,5\,\mathrm s$. Le graphique idéalisé n’y possède donc pas de dérivée unique. Nos réponses s’appliquent uniquement à l’intérieur des intervalles. Nous n’attribuons aucune f.é.m. instantanée à ces angles ni aux deux extrémités du graphique. Une transition physique se déroule sur une durée que ce modèle simplifié ne précise pas.

5. Calcul facultatif : un flux qui varie sans angle vif

Si les dérivées sont nouvelles pour vous, faites d’abord les questions 1 à 5. Pour ce prolongement, revoyez comment dériver un polynôme. Remplacez la pente d’un segment par le taux de variation instantané :

$$\mathcal E(t)=-N\frac{d\Phi_B}{dt}$$

Exemple résolu 3 : f.é.m. nulle au sommet de la courbe de flux

Une bobine fixe de $50$ spires possède une aire de $0{,}020\,\mathrm{m^2}$ par spire et une résistance totale de $5{,}0\,\Omega$. Le champ est uniforme et perpendiculaire à son plan. Gardez la normale sortante et le sens positif antihoraire. Pour $0\le t\le4\,\mathrm s$, le flux extérieur par spire vaut :

$$\begin{aligned}\Phi_B(t)={}&6\,\mathrm{mWb}\\&+(4\,\mathrm{mWb/s})t\\&-(1\,\mathrm{mWb/s^2})t^2.\end{aligned}$$

Les unités des coefficients sont importantes : chaque terme est un flux. Dérivez séparément le terme constant, le terme linéaire et le terme quadratique :

$$\frac{d\Phi_B}{dt}=4\,\mathrm{mWb/s}-(2\,\mathrm{mWb/s^2})t$$

• À $t=1\,\mathrm s$, la pente vaut $+2\,\mathrm{mWb/s}$. Donc $\mathcal E=-0{,}100\,\mathrm V$ et $I=-0{,}0200\,\mathrm A$ : $20{,}0\,\mathrm{mA}$ dans le sens horaire.
• À $t=2\,\mathrm s$, la pente est nulle, donc $\mathcal E=I=0$. Pourtant, $\Phi_B=10\,\mathrm{mWb}$ et $B=0{,}010/0{,}020=0{,}50\,\mathrm T$, vers l’extérieur.
• À $t=3\,\mathrm s$, la pente vaut $-2\,\mathrm{mWb/s}$. Donc $\mathcal E=+0{,}100\,\mathrm V$ et $I=+0{,}0200\,\mathrm A$ : $20{,}0\,\mathrm{mA}$ dans le sens antihoraire.

Sur l’intervalle complet de 0 à 4 s, les flux initial et final sont égaux : la f.é.m. moyenne est donc nulle. Cela ne rend pas la f.é.m. nulle pendant tout l’intervalle. Les contributions horaires et antihoraires se compensent dans la moyenne temporelle algébrique.

6. Vérifier d’où vient l’énergie

Un courant induit chauffe une résistance avec une puissance $P=I^2R$. Inverser le courant ne rend pas cet échauffement négatif. L’énergie doit venir de quelque part : de la source qui modifie le champ, d’un travail mécanique qui modifie la géométrie, ou d’une énergie stockée que le système plus large libère.

Par exemple, lorsqu’un aimant s’approche d’une boucle résistive, la réponse induite s’oppose à son approche. Maintenir son mouvement demande un apport mécanique; s’il se déplace librement, il peut perdre de l’énergie cinétique. Le signe de Lenz est compatible avec ce transfert d’énergie. Il ne crée pas une source d’énergie supplémentaire.

Choisissez le système avant d’affirmer que son énergie est conservée. La boucle seule peut recevoir de l’énergie de l’extérieur, et l’énergie mécanique seule peut diminuer pendant que l’énergie thermique augmente. Retrouvez cette démarche dans travail, énergie et quantité de mouvement : choisir la méthode.

7. Essayer six exercices progressifs

Chaque calcul de courant suppose un circuit résistif fermé, sans autre source de f.é.m., avec auto-inductance et effets capacitifs négligeables. L’aire et l’orientation sont fixes, sauf lorsqu’une rotation est indiquée. Les champs sont uniformes sur chaque spire. Essayez avant d’ouvrir l’indice ou la solution.

8. Garder une démarche en cinq lignes

1. Nommez l’observateur, choisissez la normale et associez-lui le sens positif du parcours.
2. Repérez ce qui change : champ, aire, angle ou plusieurs de ces grandeurs.
3. Calculez le flux par spire en précisant l’angle avec la normale et les unités.
4. Prenez la pente appropriée, multipliez par $-N$, puis utilisez $I=\mathcal E/R$ seulement si ses hypothèses sont valides.
5. Traduisez le signe en sens physique et vérifiez avec la loi de Lenz.

Pour poursuivre avec les circuits, travaillez les flèches de courant et les signes dans les circuits. Pour revenir à votre guide de cours, choisissez Dawson 203-SN2-RE, Concordia PHYS 205 ou McGill PHYS 102.

Pour travailler ensemble un schéma ou un signe difficile, consultez le tutorat en électricité et magnétisme.

Références et liens avec les cours

Vérification : 19 octobre 2026. Les sources ci-dessous appuient les principes physiques et les liens thématiques avec les cours.

• OpenStax University Physics, volume 2, §13.1 : loi de Faraday et §13.2 : loi de Lenz (en anglais). Pour la limite concernant la réponse du courant, consultez §14.4 : circuits RL (en anglais).
• La description actuelle de 203-SN2-RE à Dawson, celle de PHYS 205 à Concordia et celle de PHYS 102 à McGill pour 2026–2027 comprennent l’induction électromagnétique.