Moment d’une force et équilibre statique : trouver le bras de levier

1. Distinguer une force de son moment

Une force décrit une interaction et se mesure en newtons (N). La force résultante détermine l’accélération du centre de masse. Le moment d’une force, appelé torque en anglais, décrit son effet de rotation autour d’un point ou d’un axe précisé. Il dépend du point d’application, de la direction et de l’intensité de la force.

• F : intensité de la force, en N. Ses composantes signées sont F_x et F_y.
• r : distance entre le point choisi O et le point d’application, en mètres (m). Les composantes de position x et y se mesurent depuis O.
• θ : angle entre le vecteur position allant de O au point d’application et le vecteur force, compris entre 0° et 180°.
• d_⊥ : plus courte distance entre O et la ligne d’action de la force, en m. Cette distance n’est jamais négative.
• τ_O : moment signé autour de l’axe passant par O et perpendiculaire à la page, en newtons-mètres (N·m). Ici, le sens antihoraire est positif et le sens horaire est négatif.

Le moment d’une force et l’énergie ont les mêmes dimensions, mais décrivent des grandeurs différentes. Écrivez le moment en N·m plutôt qu’en J. Une force non nulle peut avoir un moment nul autour d’un point; une même force peut aussi avoir des moments différents autour de différents points. Précisez toujours le point choisi.

2. Mesurer la distance à la ligne d’action

Prolongez la flèche de force en une droite infinie : sa ligne d’action. Tracez le plus court segment reliant O à cette droite. Il la rencontre à angle droit et sa longueur est d_⊥. Son extrémité ne coïncide pas nécessairement avec le point où la force s’applique à l’objet.

$$d_{\perp}=r\sin\theta$$

$$|\tau_O|=Fd_{\perp}=rF\sin\theta$$

Les barres verticales indiquent la valeur absolue. Déterminez séparément le signe à partir du sens de rotation produit. Si la ligne d’action passe par O, le bras de levier est nul, même si le point d’application est loin de O. Pour r et F fixés, un angle de 90° donne le moment de plus grande valeur absolue.

Pour une barre horizontale orientée vers la droite depuis O, seule la composante verticale de la force produit un moment autour de O. Plus généralement, avec x positif vers la droite et y positif vers le haut :

$$\tau_O=xF_y-yF_x$$

Cette formule en composantes contient déjà le signe. N’ajoutez pas ensuite un autre signe moins pour une rotation horaire. De même, utilisez soit Fd_⊥, soit rF sin θ : multiplier par sin θ dans les deux expressions compterait deux fois la même géométrie.

3. Exemple résolu : une force oblique

Une force de 40 N agit à l’extrémité d’une clé idéalisée, à 0,30 m à droite de O. Elle pointe à 35° au-dessus de l’horizontale vers la droite. Calculez son moment autour de O. Cet exemple porte seulement sur le moment de cette force; il n’affirme pas que la clé est en équilibre.

Trouver le bras de levier et le signe

Le vecteur position pointe vers la droite : l’angle entre ce vecteur et la force vaut donc 35°. La force tend à faire tourner la clé dans le sens antihoraire; le signe est positif.

$$d_{\perp}=(0{,}30\,\mathrm m)\sin35^\circ$$

$$d_{\perp}\approx0{,}172\,\mathrm m$$

$$\tau_O=+(40\,\mathrm N)(0{,}172073\,\mathrm m)$$

$$\tau_O\approx+6{,}9\,\mathrm{N\cdot m}$$

Vérifier par une seconde méthode

Décomposez la force : F_y = 40 sin 35° ≈ 22,94 N. La composante horizontale agit selon une droite passant par O; son moment est nul.

$$\tau_O=(0{,}30\,\mathrm m)(22{,}943\,\mathrm N)$$

$$\tau_O\approx+6{,}9\,\mathrm{N\cdot m}$$

Si la même force était perpendiculaire à la clé et orientée vers le haut, son moment vaudrait +12 N·m. Si elle pointait horizontalement vers la droite, son moment serait nul. Si elle pointait à 35° sous l’horizontale, la valeur absolue resterait de 6,9 N·m, mais le signe serait négatif. Conservez les valeurs non arrondies pendant le calcul et arrondissez le résultat final.

4. Choisir un pivot et écrire les trois équilibres

Un objet en équilibre statique est au repos et le reste dans le référentiel inertiel choisi. Pour ce modèle de solide rigide dans un plan, utilisez les trois conditions :

$$\sum F_x=0$$

$$\sum F_y=0$$

$$\sum \tau_O=0$$

Le symbole Σ signifie « additionner toutes les contributions ». Incluez toutes les forces extérieures exercées sur l’objet choisi. Une résultante nulle n’exclut pas à elle seule un effet de rotation. Un moment résultant nul autour d’un seul point n’exclut pas à lui seul une force résultante. Ces conditions expriment l’équilibre; le repos initial est aussi nécessaire pour parler d’équilibre statique.

Le pivot est un choix de calcul

O peut être une articulation réelle, un point de contact ou n’importe quel point fixe commode du schéma. Choisir O à l’intersection de lignes d’action de forces inconnues supprime leurs termes dans l’équation des moments, puisque leurs bras de levier sont nuls. Ces forces restent présentes dans les équations de forces. Lorsque la force résultante est nulle, le moment résultant est le même autour de toute origine. Une fois les deux conditions satisfaites, changer de pivot ne change aucun résultat physique.

Une méthode concrète

• Isolez le solide et tracez chaque force extérieure à son point d’application ou sur sa ligne d’action. Ne comptez pas une force et ses composantes comme trois forces distinctes.
• Indiquez les positions, les axes et le sens positif de rotation. Placez le poids d’une barre uniforme à son milieu; pour une barre non uniforme, il faut connaître son centre de masse.
• Choisissez un pivot qui élimine des inconnues utiles. Écrivez une équation signée des moments, puis les deux équations de forces.
• Résolvez, remettez les unités et vérifiez toutes les sommes. Un câble doit tirer avec une tension non négative; un contact simple peut pousser, mais pas tirer. Un résultat négatif peut renverser un sens supposé ou invalider un modèle d’appui à sens unique.

Nos articulations idéales exercent des forces horizontales et verticales, sans exercer de couple supplémentaire. Un encastrement capable d’exercer son propre moment demanderait un autre diagramme de forces.

5. Exemple résolu : équilibrer une barre

Une barre rigide idéale de poids négligeable mesure 1,20 m. Une articulation sans frottement à x = 0,40 m la soutient. Une force verticale de 12 N agit vers le bas à x = 0,10 m. Une seconde force P agit vers le bas à x = 1,00 m. Les positions se mesurent depuis l’extrémité gauche. Trouvez P et la composante verticale de la réaction de l’articulation à l’équilibre.

Choisir l’articulation pour éliminer sa réaction

Autour de l’articulation, la force de 12 N produit un moment antihoraire et P produit un moment horaire. Leurs bras de levier perpendiculaires valent 0,30 m et 0,60 m.

$$+(12)(0{,}30)-P(0{,}60)=0$$

$$P=6{,}0\,\mathrm N$$

Chaque produit de la première équation est un moment en N·m; les distances sont en mètres et les forces en newtons. Le plus grand bras de levier demande une force plus faible pour produire un moment de même valeur absolue.

Revenir à l’équilibre des forces

Notons R_y la réaction verticale vers le haut. Aucune autre force n’est horizontale, donc R_x = 0.

$$R_y-12-6=0$$

$$R_y=18\,\mathrm N$$

Vérifier autour d’un autre point

Autour de l’extrémité gauche, la réaction possède un bras de levier non nul. Incluez toutes les forces :

$$\begin{aligned}\sum\tau_{\rm gauche}&=-12(0{,}10)\\&\quad+18(0{,}40)\\&\quad-6(1{,}00)=0\end{aligned}$$

Les moments donnent −1,2 + 7,2 − 6,0 = 0 N·m. Le choix de l’articulation était commode, mais non obligatoire. Oublier sa réaction après avoir déplacé le pivot fausserait la vérification.

6. Exemple résolu : une articulation et un câble oblique

Une barre horizontale idéale et uniforme mesure 2,00 m et pèse 60 N. Elle est articulée à son extrémité gauche O. Une charge de 100 N agit vers le bas à 1,50 m de O. Un câble léger fixé à l’extrémité droite tire vers le haut et la gauche, à 30° au-dessus de l’horizontale orientée vers la gauche. Trouvez la tension T et les composantes H_x et H_y de la réaction. Le câble et l’articulation sont idéaux; aucune conclusion de résistance ou de sécurité n’en découle.

Équilibrer les moments autour de l’articulation

Le poids de la barre agit en son milieu, à 1,00 m de O. Les réactions passent par O. La composante horizontale de la tension a aussi un moment nul autour de O; seule la composante verticale contribue.

$$\begin{aligned}2{,}00T\sin30^\circ&=60(1{,}00)\\&\quad+100(1{,}50)\end{aligned}$$

$$2{,}00T\sin30^\circ=210\,\mathrm{N\cdot m}$$

$$T=210\,\mathrm N$$

La tension fait un angle de 150° avec le vecteur position orienté vers la droite. Utiliser sin 150° donne le même résultat que sin 30°. Son bras de levier vaut 2,00 sin 30° = 1,00 m : la méthode Fd_⊥ donne donc aussi 210 N·m.

Trouver la réaction avec les deux équations de forces

$$H_x-T\cos30^\circ=0$$

$$H_x\approx182\,\mathrm N\quad\text{vers la droite}$$

$$H_y+T\sin30^\circ-60-100=0$$

$$H_y=55\,\mathrm N\quad\text{vers le haut}$$

La tension n’est pas égale au poids total de 160 N. Sa composante verticale ne vaut que 105 N; l’articulation fournit les 55 N restants. Sa composante vers la gauche est compensée par la réaction vers la droite.

Vérifier les trois équilibres

• Forces horizontales : +181,865 − 181,865 = 0 N.
• Forces verticales : +55 + 105 − 60 − 100 = 0 N.
• Moments autour de O : +210 − 60 − 150 = 0 N·m.

La tension positive correspond à un câble tendu qui tire dans le sens indiqué. Une composante négative de la réaction signifierait que cette composante pointe dans le sens contraire à la flèche choisie; une articulation idéale peut agir dans les deux sens.

7. Six exercices à essayer

Gardez la même convention : droite et haut positifs, moment antihoraire positif. Dans les exercices 1 et 2, le vecteur position pointe vers la droite depuis O. Donnez les unités du moment et justifiez son signe. Essayez chaque exercice avant d’ouvrir son indice; les solutions se trouvent dans la section suivante.

1. Vérifier la géométrie avant de multiplier

Une force de 25 N vers le haut agit à 0,16 m à droite de O. Calculez son moment. Comparez-le à celui d’une force de 25 N appliquée à 0,40 m à droite de O, mais orientée horizontalement vers la droite. Laquelle produit le plus grand moment en valeur absolue ?

2. Utiliser un angle obtus

Une force de 18 N agit à x = 0,50 m, y = 0. Sa direction fait 150° dans le sens antihoraire depuis l’axe x positif. Trouvez d_⊥ et le moment signé autour de O. Sa composante vers la gauche rend-elle le moment négatif ?

3. Vérifier si une résultante nulle suffit

Deux forces agissent sur une barre horizontale : 10 N vers le haut à x = −0,30 m et 10 N vers le bas à x = +0,30 m. Les points d’application ont y = 0. Trouvez la force résultante et le moment résultant autour de x = 0. Ces deux forces seules peuvent-elles maintenir l’équilibre statique ?

4. Choisir un pivot, puis en vérifier un autre

Une barre de poids négligeable est articulée à x = 0,50 m. Une force de 14 N vers le bas agit à x = 0,20 m et une force Q vers le bas agit à x = 1,10 m. Les points d’application sont sur une même droite horizontale. Trouvez Q et la réaction verticale. Vérifiez les moments autour de x = 0.

5. Repérer un calcul d’équilibre incomplet

Une barre horizontale uniforme mesure 2,00 m et pèse 40 N. En plus de son poids, sa seule force est une force F vers le haut, à x = 1,50 m depuis l’extrémité gauche. Il n’y a ni articulation ni autre appui. Une personne choisit l’extrémité gauche comme O, impose un moment résultant nul et conclut à l’équilibre statique. Trouvez sa valeur de F, calculez la résultante des forces et expliquez l’erreur.

6. Modifier l’angle du câble

Reprenez l’exemple de l’articulation et du câble, avec la même barre et les mêmes positions des charges. Faites passer l’angle du câble à 45° au-dessus de l’horizontale vers la gauche. Trouvez T, H_x et H_y. Quelle composante de T doit rester constante ? Expliquez ce qui arrive à la tension requise lorsque l’angle tend vers 0° par valeurs positives, dans ce modèle idéal.

8. Solutions et vérifications

9. Que travailler avec un tuteur

Partez d’une question sur les moments de forces ou l’équilibre qui vous bloque, ou d’une notion de base que vous aimeriez mieux comprendre. Vous pouvez construire le diagramme de forces et les premières équations avec votre tuteur. Demandez au tuteur de travailler ces décisions avec vous :

• Vérifier l’objet isolé et identifier l’interaction à l’origine de chaque force.
• Vous faire tracer la ligne d’action et le bras de levier perpendiculaire avant d’utiliser une formule.
• Comparer deux choix de pivot et montrer pourquoi une force inconnue disparaît de l’équation des moments tout en restant dans celles des forces.
• Vous faire prévoir l’effet d’un déplacement de charge ou d’un changement d’angle du câble, puis vérifier cette prévision par les équations.
• Revoir un nouvel exercice que vous résolvez vous-même, en repérant la première étape injustifiée plutôt qu’en regardant seulement le résultat.

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10. Pour poursuivre et consulter les sources

Si le diagramme de forces vous a posé problème, commencez par les diagrammes de forces et le frottement. Pour choisir le principe physique adapté à un système en mouvement, poursuivez avec le travail, l’énergie ou la quantité de mouvement.

Les explications, exemples numériques et figures de ce guide sont originaux. Pour les définitions usuelles et un traitement plus large, consultez :

• OpenStax : moment d’une force (en anglais).
• OpenStax : conditions de l’équilibre statique (en anglais).

Contexte des cours : la description officielle de PHYS 204 à Concordia comprend la statique et le mouvement de rotation. Le PDF officiel de PHYS 101 à McGill décrit un cours de mécanique et de rotation sans calcul différentiel ou intégral. Ces descriptions générales appuient la pertinence du sujet; ce guide ne précise ni le contenu exact d’une section actuelle, ni la matière à l’examen, ni l’ordre d’enseignement. Consultez votre plan de cours. Nablio est indépendant de ces universités.