Mouvement circulaire : forces et accélération centripète

Nablio · 4 questionsPublié le 6 octobre 2026

Revenir au guide 027583 TEC · La Cité. L’aide dans ce cours doit être confirmée avant la réservation et le paiement.

Un objet peut garder la même vitesse en grandeur pendant que sa direction change. C'est la première idée à reconnaître dans un problème de mouvement circulaire. Il faut ensuite déterminer quelles forces réelles font courber sa trajectoire.

Cette leçon développe ces deux idées avec une rondelle attachée à une corde, un jeton sur un plateau tournant et une petite bille sur une piste courbe. Vous tracerez un diagramme de forces, choisirez le sens vers le centre, calculerez la force nécessaire et vérifierez si le contact ou la corde peut la fournir.

Avant de commencer, revoyez les diagrammes de forces et le frottement. Cette leçon explique le poids, la force normale, la tension et la limite du frottement statique. La leçon sur les graphiques du mouvement aide à distinguer vitesse et accélération. Les explications et exercices ci-dessous ont été créés par Nablio et sont indépendants des évaluations des collèges.

1 Pourquoi une vitesse de grandeur constante peut donner une accélération

La grandeur de la vitesse indique à quelle rapidité un objet se déplace. Le vecteur vitesse précise aussi sa direction et son sens. Sur un cercle, il est tangent à la trajectoire, donc perpendiculaire au rayon. Même si sa longueur reste constante, la flèche de vitesse tourne pendant le mouvement.

L'accélération mesure la variation du vecteur vitesse par unité de temps. Pour un mouvement circulaire à vitesse de grandeur constante, elle pointe vers le centre. C'est l'accélération centripète, c'est-à-dire dirigée vers le centre. Notons $v$ la grandeur de la vitesse en mètres par seconde, $r$ le rayon du cercle en mètres et $a_r$ l'accélération vers le centre en mètres par seconde carrée :

a_r=\frac{v^2}{r}.

Pourquoi cette expression? Pendant un court intervalle $\Delta t$ , l'objet parcourt un petit arc de longueur $\Delta s=v\Delta t$ . Son vecteur vitesse tourne du même petit angle que son rayon. Pour une très petite rotation, la grandeur de la variation de vitesse vaut approximativement $\Delta v=v\Delta s/r$ . En divisant par $\Delta t$ , puis en prenant des intervalles de plus en plus courts, on obtient $a_r=v^2/r$ . Ici, $\Delta v$ désigne la grandeur de la variation du vecteur vitesse; la grandeur de la vitesse elle-même n'a pas changé.

Vues de dessus séparées d'un mouvement circulaire antihoraire. Les flèches de vitesse tangentes ont la même longueur. Dans l'autre vue, les flèches d'accélération pointent vers le centre. Au point le plus à droite, la vitesse pointe vers le haut de la page et l'accélération vers la gauche. — Les flèches de vitesse ont la même longueur, mais leur direction change. Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération pointe vers le centre à chaque position.

Doubler la vitesse en gardant le même rayon multiplie l'accélération vers le centre par quatre. Doubler le rayon à la même vitesse divise cette accélération par deux. Les unités conviennent aussi : $(\mathrm{m/s})^2/\mathrm{m}=\mathrm{m/s^2}$ .

Et si la grandeur de la vitesse change? Sur une trajectoire circulaire fixe, la composante vers le centre vaut encore $v^2/r$ , avec la vitesse à l'instant étudié. Il existe aussi une accélération tangentielle, dans le sens du mouvement ou dans le sens opposé. L'accélération totale, et donc la force résultante, ne pointe alors pas nécessairement directement vers le centre. Les exemples précisent une vitesse de grandeur constante ou portent sur un point particulier.

Même à vitesse de grandeur constante, la direction vers le centre tourne continuellement. Le vecteur accélération n'est donc pas constant : les équations du mouvement rectiligne à accélération constante ne peuvent pas décrire un tour complet.

2 Choisir l'axe vers le centre et les forces réelles

Observez le mouvement dans un référentiel lié à la pièce ou au sol, supposé approximativement inertiel : un référentiel où un objet soumis à une force résultante nulle garde un vecteur vitesse constant. Isolez un seul objet. Tracez uniquement les forces correspondant à des interactions identifiables, comme l'attraction de la Terre, une corde ou une surface.

À la position étudiée, choisissez le sens vers le centre comme sens radial positif. La deuxième loi de Newton donne alors

\sum F_r=m\frac{v^2}{r}.

Ici, $m$ est la masse en kilogrammes, $F_r$ une composante de force signée selon cet axe, et $\sum$ signifie qu'on additionne ces composantes. Une composante dirigée vers l'extérieur porte un signe négatif. Le membre de droite donne la force résultante nécessaire vers le centre.

L'expression « force centripète » désigne la résultante radiale, vers le centre, des forces déjà présentes sur le diagramme. Ajouter une autre flèche nommée $mv^2/r$ compterait deux fois le même effet. La vitesse de l'objet n'est pas non plus une force. Gardez les flèches décrivant le mouvement séparées du diagramme de forces.

Suivez cet ordre : repérer le centre → isoler l'objet → tracer ses forces réelles → choisir le sens vers le centre → écrire l'équation radiale → vérifier les autres directions → tester le modèle. Une corde tendue peut tirer, une surface peut pousser et le frottement statique a une valeur maximale.

Dans toutes les questions numériques, utilisez $g=9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$ , négligez la résistance de l'air et assimilez l'objet à une particule. $N$ désigne la force normale; $\mathrm{N}$ est le symbole de l'unité newton. Conservez les valeurs non arrondies jusqu'au résultat final.

3 Exemple résolu 1 Une rondelle tirée par une corde

Une rondelle de $0{,}40\,\mathrm{kg}$ se déplace à une vitesse de grandeur constante de $2{,}0\,\mathrm{m/s}$ sur une table horizontale sans frottement. Une corde légère, tendue et horizontale la relie à un point fixe. La trajectoire est un cercle de rayon $0{,}80\,\mathrm{m}$ . Trouvez l'accélération et la tension $T$ de la corde.

Les forces sont le poids $mg$ vers le bas, la force normale $N$ vers le haut et la tension $T$ , horizontale et dirigée vers le centre. La table maintient la rondelle à une hauteur fixe, donc $N-mg=0$ et $N=3{,}92\,\mathrm{N}$ . La tension est la seule force dirigée vers le centre :

\begin{aligned}&a_r=\frac{(2{,}0)^2}{0{,}80}\\&=5{,}0\,\mathrm{m/s^2},\\&T=ma_r\\&=(0{,}40)(5{,}0)\\&=2{,}0\,\mathrm{N}.\end{aligned}

La rondelle a une accélération même si la grandeur de sa vitesse reste constante : la tension change la direction du vecteur vitesse. Il n'est pas nécessaire d'ajouter une flèche « centripète ». Les forces verticales s'équilibrent; les forces horizontales ne s'équilibrent pas.

Pour vérifier, doubler la vitesse à $4{,}0\,\mathrm{m/s}$ au même rayon exigerait $T=8{,}0\,\mathrm{N}$ . Cette prédiction suppose que la corde supporte cette tension plus élevée. Sa résistance à la rupture n'a pas été donnée.

4 Exemple résolu 2 Le jeton va-t-il glisser

Un petit jeton de $0{,}020\,\mathrm{kg}$ tourne avec un plateau horizontal sans glisser. Il se trouve à $0{,}25\,\mathrm{m}$ du centre et sa vitesse a une grandeur constante de $0{,}70\,\mathrm{m/s}$ . Le coefficient de frottement statique vaut $\mu_s=0{,}30$ . Vérifiez si le mouvement sans glissement annoncé est possible, puis trouvez la plus grande vitesse constante permise par ce modèle.

Le jeton se déplace par rapport à la pièce, mais ne glisse pas par rapport au plateau. Le frottement est donc statique. Les forces réelles sont le poids vers le bas, la force normale vers le haut et le frottement statique $f_s$ , horizontal et dirigé vers le centre.

Un jeton tourne dans le sens antihoraire sur un plateau horizontal. Un panneau de forces vu du dessus montre le frottement statique vers le centre. Un panneau de forces vu de côté montre la force normale vers le haut et le poids vers le bas, de même grandeur. — Le frottement statique fournit la force vers le centre. Les forces verticales s'équilibrent. Le jeton suit le plateau sans que les deux surfaces glissent l'une sur l'autre.

L'accélération verticale est nulle, donc $\begin{aligned}&N=mg\\&=(0{,}020)(9{,}8)\\&=0{,}196\,\mathrm{N}\end{aligned}$ . L'équation radiale donne le frottement réellement nécessaire :

\begin{aligned}&f_s=m\frac{v^2}{r}\\&=\frac{(0{,}020)(0{,}70)^2}{0{,}25}\\&=0{,}0392\,\mathrm{N}.\end{aligned}

Comparez cette valeur au maximum disponible :

\begin{aligned}&f_{s,\max}=\mu_sN\\&=(0{,}30)(0{,}196)\\&=0{,}0588\,\mathrm{N}.\end{aligned}

Puisque $0{,}0392<0{,}0588$ , l'absence de glissement est compatible avec le modèle. Le frottement réel vaut $0{,}0392\,\mathrm{N}$ , et non sa valeur maximale. Il agit perpendiculairement au vecteur vitesse du jeton et permet le changement de direction sans modifier la grandeur de la vitesse.

À la vitesse constante limite, le frottement nécessaire atteint son maximum :

\begin{aligned}&m\frac{v_{\max}^2}{r}=\mu_smg,\\&v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr}\\&=\sqrt{(0{,}30)(9{,}8)(0{,}25)}\\&\approx0{,}857\,\mathrm{m/s}.\end{aligned}

La masse s'élimine parce que la force nécessaire et la limite du frottement augmentent toutes deux proportionnellement à la masse. Au-dessus de cette vitesse, le jeton ne peut pas garder le cercle indiqué sans glisser. On ne peut plus employer le modèle du frottement statique ni supposer que la trajectoire conserve un rayon de $0{,}25\,\mathrm{m}$ .

Pour aller plus loin : que change une augmentation de la vitesse du plateau?

Gardez le même jeton et la même surface : $m=0{,}020\,\mathrm{kg}$ , $r=0{,}25\,\mathrm m$ , $\mu_s=0{,}30$ et $g=9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$ . À un instant où la grandeur de sa vitesse vaut $v=0{,}70\,\mathrm{m/s}$ , le plateau ferait augmenter cette grandeur de $2{,}0\,\mathrm{m/s}$ chaque seconde si le jeton ne glissait pas. Le frottement peut-il produire ce mouvement à cet instant?

Ce taux d’augmentation est l’accélération tangentielle, $a_t=2{,}0\,\mathrm{m/s^2}$ . Elle pointe dans le sens du mouvement. L’accélération vers le centre, $a_r=v^2/r=1{,}96\,\mathrm{m/s^2}$ , change la direction du vecteur vitesse. Ces directions sont perpendiculaires. La hauteur du jeton reste fixe; la force normale reste donc $N=mg=0{,}196\,\mathrm N$ .

Utilisez la deuxième loi de Newton dans les deux directions horizontales, car le frottement doit produire les deux accélérations. Notons $f_r$ et $f_t$ les composantes vers le centre et tangentielle de l’unique force de frottement statique :

\begin{aligned}f_r&=ma_r=0{,}0392\,\mathrm N,\\f_t&=ma_t=0{,}0400\,\mathrm N.\end{aligned}

Imaginez une seule flèche de frottement orientée en diagonale vers le centre et vers l’avant. Ses composantes perpendiculaires forment un triangle rectangle; la grandeur nécessaire $f_s$ vaut donc

\begin{aligned}f_s&=\sqrt{f_r^2+f_t^2}\\&=\sqrt{(0{,}0392)^2+(0{,}0400)^2}\\&\approx0{,}0560\,\mathrm N.\end{aligned}

Le maximum disponible reste $\mu_sN=0{,}0588\,\mathrm N$ . Comme $0{,}0560<0{,}0588$ , l’absence de glissement est compatible avec le modèle à cet instant. Le frottement réel vaut la valeur nécessaire de $0{,}0560\,\mathrm N$ , pas le maximum. Quand la grandeur de la vitesse augmente, la composante nécessaire vers le centre augmente aussi; cette vérification ne garantit pas l’absence de glissement plus tard.

Essayez une augmentation plus rapide : à la même vitesse instantanée, remplacez seulement $a_t$ par $2{,}5\,\mathrm{m/s^2}$ . Le jeton peut-il rester sans glisser à cet instant? Expliquez quelle force doit respecter la limite.

Vérifier la réponse

Alors $f_t=0{,}0500\,\mathrm N$ et $f_s=\sqrt{(0{,}0392)^2+(0{,}0500)^2}\approx0{,}0635\,\mathrm N$ . Chaque composante est inférieure à $0{,}0588\,\mathrm N$ , mais leur grandeur combinée dépasse cette limite. Le mouvement sans glissement est impossible. La limite de frottement s’applique au vecteur complet, pas séparément à chaque composante. Ces forces nécessaires correspondent à l’hypothèse invalidée d’absence de glissement; elles ne déterminent pas le mouvement réel après le début du glissement.

5 Exemple résolu 3 Le contact au sommet d'une piste courbe

Une petite bille de $0{,}50\,\mathrm{kg}$ glisse sur la face extérieure d'une bosse circulaire fixe, sans frottement, de rayon $2{,}0\,\mathrm{m}$ . Au sommet, sa vitesse instantanée vaut $3{,}0\,\mathrm{m/s}$ . La piste peut pousser la bille, mais ne peut ni la tirer ni la retenir vers le bas. Trouvez la force normale à cet endroit et vérifiez le contact.

Le centre du cercle se trouve sous la bille. Au sommet, le sens vers le centre est donc vers le bas. Le poids contribue $+mg$ ; la force normale vers le haut contribue $-N$ . Il n'y a pas de frottement :

\begin{aligned}&mg-N=m\frac{v^2}{r},\\&N=m\left(g-\frac{v^2}{r}\right).\end{aligned}

\begin{aligned}&N=(0{,}50)\left(9{,}8-\frac{(3{,}0)^2}{2{,}0}\right)\\&=2{,}65\,\mathrm{N}.\end{aligned}

Une bille au sommet d'une piste circulaire convexe a le centre du cercle sous elle. Le panneau du mouvement montre une vitesse horizontale. Le diagramme de forces séparé montre un poids vers le bas plus grand que la force normale vers le haut, donnant une résultante vers le bas. — Au sommet, le sens vers le centre est vers le bas. Le poids dépasse la force normale; leur résultante vers le bas fait courber la trajectoire.

Cette force est inférieure au poids de $4{,}90\,\mathrm{N}$ . Leur différence, $2{,}25\,\mathrm{N}$ vers le bas, produit l'accélération de $4{,}50\,\mathrm{m/s^2}$ vers le centre. Le mouvement de la bille est horizontal à cet instant, mais son accélération verticale n'est pas nulle.

Le contact exige $N\ge0$ . Au sommet, la condition limite donne

\begin{aligned}&v\le\sqrt{gr}\\&=\sqrt{(9{,}8)(2{,}0)}\\&\approx4{,}43\,\mathrm{m/s}.\end{aligned}

L'égalité correspond à une force normale nulle, à la limite du maintien du contact dans ce modèle idéal. Un résultat négatif pour $N$ indiquerait que le contact circulaire supposé est impossible : la piste devrait tirer vers le bas. Ce résultat ne représente pas une « poussée négative » que la piste pourrait réellement exercer.

La grandeur de la vitesse n'est pas nécessairement constante ailleurs sur la bosse. Au sommet, le poids et la force normale sont tous deux radiaux. Ailleurs, le poids a généralement une composante tangentielle. Ce calcul vérifie le point précisé; il ne détermine pas tout le trajet.

6 Quatre questions avec de moins en moins d'indications

Pour chaque question, repérez le centre et gardez les flèches de vitesse et d'accélération séparées du diagramme de forces. Essayez de résoudre le problème avant d'ouvrir l'indice ou la solution.

1 Avec indications Tracer les deux directions

Une rondelle parcourt un cercle horizontal de rayon $0{,}50\,\mathrm{m}$ dans le sens antihoraire, à une vitesse de grandeur constante de $2{,}0\,\mathrm{m/s}$ . Au point le plus à droite, dans quels sens pointent sa vitesse et son accélération? Trouvez la grandeur de l'accélération. Si sa force horizontale disparaît à cet instant et qu'aucune autre force horizontale n'agit, que devient sa trajectoire horizontale?

Indice

Tracez la tangente au point le plus à droite. Le centre est à gauche. Après la disparition de la force, appliquez la première loi de Newton.

Solution expliquée

Dans une vue de dessus, la vitesse pointe vers le haut de la page et l'accélération vers la gauche, en direction du centre. Sa grandeur vaut $\begin{aligned}&a_r=(2{,}0)^2/0{,}50\\&=8{,}0\,\mathrm{m/s^2}\end{aligned}$ . Après la disparition de la force horizontale, l'accélération horizontale est nulle. La rondelle suit la tangente en ligne droite dans le plan horizontal en conservant son vecteur vitesse; elle ne part pas soudainement dans la direction radiale vers l'extérieur.

2 Trouver l'erreur Deux noms pour un seul effet

Une rondelle de $0{,}30\,\mathrm{kg}$ , sur une table horizontale sans frottement, est reliée à un point fixe par une corde légère, tendue et horizontale. Elle parcourt un cercle de rayon $1{,}2\,\mathrm{m}$ à une vitesse de grandeur constante de $2{,}4\,\mathrm{m/s}$ . Un étudiant écrit $T+F_c=mv^2/r$ , avec $F_c=mv^2/r$ , et conclut que $T=0$ . Expliquez l'erreur et trouvez $T$ .

Indice

Quelle interaction exercerait $F_c$ en plus de la corde? Dressez la liste des forces réelles avant d'écrire l'équation radiale.

Solution expliquée

Les forces sont le poids, la force normale de la table et la tension de la corde. Les deux premières s'équilibrent verticalement. Il n'y a pas de quatrième interaction qui produirait une force supplémentaire $F_c$ . La tension fournit toute la force vers le centre, donc $\begin{aligned}&T=m v^2/r\\&=(0{,}30)(2{,}4)^2/1{,}2\\&=1{,}44\,\mathrm{N}\end{aligned}$ . L'équation de l'étudiant compte deux fois la force résultante vers le centre. Une tension nulle ne laisserait aucune force horizontale pour maintenir le cercle.

3 En autonomie Tester la limite du frottement

Un jeton de $0{,}030\,\mathrm{kg}$ se trouve à $0{,}40\,\mathrm{m}$ du centre d'un plateau horizontal avec $\mu_s=0{,}20$ . Considérez deux essais distincts à vitesse constante, chacun supposant que le jeton suit le plateau sans glisser : $1{,}0\,\mathrm{m/s}$ , puis $0{,}80\,\mathrm{m/s}$ . Quelle hypothèse est possible? Donnez le frottement réel lorsque l'absence de glissement est possible et trouvez la vitesse constante limite.

Indice

Calculez la force normale et le frottement maximal, qui sont les mêmes dans les deux essais. Comparez ensuite chaque valeur nécessaire $mv^2/r$ à ce maximum.

Solution expliquée

La force normale vaut $\begin{aligned}&N=(0{,}030)(9{,}8)\\&=0{,}294\,\mathrm{N}\end{aligned}$ , donc $\begin{aligned}&f_{s,\max}=(0{,}20)(0{,}294)\\&=0{,}0588\,\mathrm{N}\end{aligned}$ . À $1{,}0\,\mathrm{m/s}$ , le frottement nécessaire vaut $(0{,}030)(1{,}0)^2/0{,}40=0{,}0750\,\mathrm{N}$ , ce qui dépasse le maximum. Le cercle sans glissement est impossible. À $0{,}80\,\mathrm{m/s}$ , il faut $(0{,}030)(0{,}80)^2/0{,}40=0{,}0480\,\mathrm{N}$ . L'absence de glissement est donc possible et le frottement statique réel vaut $0{,}0480\,\mathrm{N}$ vers le centre. La vitesse limite est $\begin{aligned}&\sqrt{(0{,}20)(9{,}8)(0{,}40)}\\&\approx0{,}885\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$ , ce qui concorde avec les deux comparaisons. Ces essais ne décrivent pas une accélération d'une vitesse à l'autre.

4 Transférer la méthode Changer le sens de la tension

Une balle de $0{,}40\,\mathrm{kg}$ , reliée à un point fixe par une corde légère, parcourt un cercle vertical de rayon $1{,}5\,\mathrm{m}$ . Au sommet, la corde est tendue et la vitesse instantanée vaut $5{,}0\,\mathrm{m/s}$ . Trouvez la tension et la plus petite vitesse au sommet compatible avec le modèle du cercle à corde tendue. Qu'indiquerait une tension calculée négative?

Indice

Au sommet, la corde et la gravité tirent toutes deux vers le centre. Une corde peut tirer, mais ne peut pas pousser. Le sens de la tension diffère donc de celui de la force normale dans l'exemple de la bosse.

Solution expliquée

Choisissez le sens vers le bas, vers le centre, comme sens positif. Les deux forces contribuent positivement : $T+mg=mv^2/r$ . Ainsi, $\begin{aligned}&T=m(v^2/r-g)\\&=(0{,}40)((5{,}0)^2/1{,}5-9{,}8)\\&\approx2{,}75\,\mathrm{N}\end{aligned}$ . Ce résultat positif est compatible avec une corde tendue. La condition $T\ge0$ donne $\begin{aligned}&v\ge\sqrt{gr}\\&=\sqrt{(9{,}8)(1{,}5)}\\&\approx3{,}83\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$ au sommet. L'égalité est le cas limite. Une tension négative exigerait que la corde pousse vers l'extérieur; l'hypothèse d'une trajectoire circulaire avec corde tendue serait alors invalide. C'est une condition locale au sommet, et non une preuve qu'un état de départ particulier permet un tour complet. On ne suppose pas que la grandeur de la vitesse reste constante autour du cercle vertical.

7 Vérifier le modèle

Pouvez-vous repérer le centre et distinguer la tangente de la direction vers le centre?
Pouvez-vous nommer l'interaction à l'origine de chaque flèche de force?
Avez-vous additionné les composantes radiales signées sans ajouter une force centripète supplémentaire?
Cherchez-vous l'accélération totale à vitesse de grandeur constante, ou seulement la composante vers le centre quand cette grandeur change?
Le résultat respecte-t-il la condition de frottement, de contact ou de tension?

Si une étape reste floue, un tuteur en mécanique peut vous aider à repérer les forces, à choisir le sens vers le centre et à écrire l'équation radiale, que vous commenciez le problème ou souhaitiez vérifier votre démarche. Pour les problèmes où il faut d'abord trouver une vitesse à partir d'une hauteur ou d'une force agissant sur une distance, poursuivez avec le travail, l'énergie et la quantité de mouvement.

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