Choisir une méthode d’intégration

1. Observer la structure avant de choisir une formule

Connaître des formules d’intégration ne suffit pas toujours pour savoir par où commencer. Une première question utile est : quelle transformation rendrait cette expression plus facile à intégrer? On peut simplifier son écriture algébrique, remplacer une expression composée par une nouvelle variable ou transformer l’intégrale en une autre plus simple.

Ce guide développe ce raisonnement à l’aide de la substitution, de l’intégration par parties, des fractions partielles et de la substitution trigonométrique. Il suppose que vous connaissez les primitives usuelles ainsi que les règles de dérivation en chaîne et du produit. Le but est de pouvoir justifier votre première étape, reconnaître quand elle n’aide pas et vérifier le résultat.

Dans la notation qui suit, $x$ est la variable d’intégration et $dx$ précise cette variable. L’intégrande est l’expression qu’on intègre. Une primitive est une fonction dont la dérivée est égale à l’intégrande. Le symbole $C$ désigne une constante réelle arbitraire : ajouter une constante ne change pas la dérivée. Le nombre $e\approx2{,}718$ est la base de l’exponentielle naturelle; $\ln$ désigne le logarithme naturel, sa fonction réciproque.

Comparez ces deux intégrales presque identiques :

$$\int x e^{x^2}\,dx\qquad\text{et}\qquad\int x e^{2x}\,dx$$

Les deux contiennent un produit. Dans la première, la dérivée de l’exposant est $2x$ : le facteur $x$ devant l’exponentielle fournit donc la dérivée recherchée, à un facteur constant près. Dans la seconde, la dérivée de l’exposant est simplement $2$; le facteur $x$ reste à traiter. Cette petite différence rend la substitution naturelle pour la première et l’intégration par parties utile pour la seconde.

Parcours du guide : simplifier → substituer → intégrer par parties → décomposer en fractions partielles → combiner et vérifier → substitution trigonométrique → s’exercer. Lisez les exemples résolus dans l’ordre, puis essayez les exercices avant d’ouvrir les solutions.

2. Simplifier avant de choisir une technique

Une intégrale qui ressemble à un quotient peut ne demander qu’une division ou une simplification de facteurs. Par exemple :

$$\begin{aligned}&\int\frac{x^2+1}{x}\,dx\\&=\int\left(x+\frac1x\right)dx\\&=\frac{x^2}{2}+\ln|x|+C,\qquad x\ne0.\end{aligned}$$

Le logarithme apparaît parce que la règle d’intégration des puissances exclut l’exposant $-1$. Aucune autre méthode n’est nécessaire ici. De même, développer un produit court de polynômes peut être plus simple qu’intégrer par parties. En revanche, gardez une puissance comme $(x^2+4)^8$ sous sa forme compacte lorsque la dérivée de l’expression intérieure apparaît à proximité.

Si l’algèbre vous bloque, reprenez le guide Avant le calcul : 10 compétences en algèbre à maîtriser. Ici, nous examinerons surtout ce que l’algèbre révèle sur le choix d’une méthode d’intégration.

3. La substitution : remonter la règle de dérivation en chaîne

Soit $f$ une fonction et $F$ l’une de ses primitives, donc $F^{\prime}(u)=f(u)$; le symbole prime indique une dérivée. Soit $g(x)$ une fonction intérieure dérivable. On utilise $u$ pour désigner sa valeur. La règle de dérivation en chaîne donne :

$$\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x).$$

Lire cette égalité en sens inverse explique la substitution, aussi appelée changement de variable. Quand l’intégrande contient $f(g(x))$ accompagné de $g'(x)$, poser $u=g(x)$ permet de regrouper ces éléments sous la forme $f(u)\,du$. La différentielle $du=g'(x)\,dx$ traduit le changement de variable : elle fait partie du calcul.

Vérifier l’ensemble du changement de variable

Dans $\int xe^{x^2}\,dx$, poser $u=x^2$ donne $\frac12\int e^u\,du$, puis $\frac12e^{x^2}+C$. Mais enlever le facteur $x$ devant l’exponentielle change le problème. Pour $\int e^{x^2}\,dx$, la même substitution ne donne pas $\int e^u\,du$. On ne peut pas supprimer le facteur nécessaire au remplacement de $dx$.

Point de contrôle : après la substitution, avez-vous réécrit toutes les variables et la différentielle de façon cohérente? La nouvelle intégrale est-elle plus simple? La présence de la dérivée intérieure est un indice précieux, mais elle n’est pas indispensable à toute substitution utile. Il faut parfois aussi exprimer un facteur $x$ restant en fonction de $u$.

4. Comprendre le rôle de la différentielle et des bornes

Considérons une intégrale définie avec $u=x^2+1$ et $du=2x\,dx$. Lorsque $x=0$, on a $u=1$; lorsque $x=1$, on a $u=2$ :

$$\int_0^1\frac{2x}{x^2+1}\,dx=\int_1^2\frac1u\,du=\ln2.$$

Les courbes ci-dessous ont des formes différentes et ne couvrent pas les mêmes intervalles horizontaux. Pourtant, les aires colorées sont égales. La substitution change à la fois l’expression de la fonction et la mesure des largeurs horizontales.

Le symbole $\Delta x$ désigne une petite variation de $x$, et $\Delta u$ la variation correspondante de $u$. Pour une bande suffisamment étroite, $\Delta u\approx2x\,\Delta x$; à la limite, on obtient $du=2x\,dx$. La hauteur initiale $2x/(x^2+1)$ et la nouvelle hauteur $1/u$ décrivent la même quantité accumulée lorsqu’on les associe à la largeur appropriée. Changer seulement le nom de la fonction ferait perdre cette compensation.

Deux démarches permettent de terminer correctement une intégrale définie :

• Passer entièrement à $u$, y compris dans les bornes, comme ci-dessus
• Trouver une primitive, revenir à $x$, puis utiliser les bornes initiales en $x$

N’évaluez pas une primitive en $u$ avec des bornes restées en $x$. N’ajoutez pas $+C$ à la valeur numérique finale : la constante s’annule lorsqu’on soustrait les valeurs aux bornes.

Comparaison rapide : $\int 2x/(x^2+1)\,dx$ suggère un logarithme. L’intégrale voisine $\int 1/(x^2+1)\,dx$ correspond à la primitive usuelle en arctangente. Le numérateur détermine quelle dérivée on reconnaît.

5. L’intégration par parties : remonter la règle du produit

Pour cette méthode, $u$ et $v$ désignent des fonctions dérivables de $x$. Il s’agit de nouveaux choix, sans lien avec la variable de substitution de la section précédente. Leurs différentielles sont $du=u^{\prime}(x)\,dx$ et $dv=v^{\prime}(x)\,dx$. La règle du produit donne $d(uv)=u\,dv+v\,du$. En intégrant puis en réorganisant :

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Cette formule remplace une intégrale par une autre. Choisissez $u$ pour que sa dérivée soit utile, et $dv$ pour pouvoir réellement trouver $v$. Examinez ensuite l’intégrale restante avant de poursuivre un long calcul.

Un produit peut être caché

Dans $\int\ln x\,dx$, écrivons l’intégrande sous la forme $\ln x\cdot1$, avec $x>0$. Choisissons $u=\ln x$ et $dv=dx$ :

$$\begin{aligned}&\int\ln x\,dx\\&=x\ln x-\int x\frac1x\,dx\\&=x\ln x-x+C.\end{aligned}$$

Le gain vient de la simplification dans $v\,du$, même si $1/x$, pris seul, ne semble pas plus simple. C’est pourquoi une suggestion comme « dériver d’abord le logarithme » est un repère utile, sans garantir que le choix fonctionnera.

Erreur fréquente : intégrer un produit ne revient pas à multiplier deux primitives. Par exemple, $\int x\cdot x\,dx=x^3/3+C$, tandis que $(x^2/2)(x^2/2)=x^4/4$ a pour dérivée $x^3$, et non $x^2$.

6. Décomposer en fractions partielles

La décomposition en fractions partielles, aussi appelée décomposition en éléments simples, réécrit une fonction rationnelle, c’est-à-dire un quotient de polynômes. Elle défait une mise au même dénominateur pour faire apparaître des termes dont on connaît les primitives. Avant de décomposer, effectuez la division polynomiale si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur. Vérifiez aussi si une simplification de facteurs ou une substitution directe suffit.

Le dénominateur seul ne détermine pas la méthode

Dans $\int(2x+3)/(x^2+3x+2)\,dx$, le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur. La substitution donne directement $\ln|x^2+3x+2|+C$. Les fractions partielles fonctionnent aussi et donnent $\ln|x+1|+\ln|x+2|+C$. Ces expressions coïncident partout où le dénominateur est non nul.

Le numérateur de l’exemple résolu, $3x+5$, n’est pas un multiple constant de $2x+3$. Une substitution directe ne règle donc pas tout le calcul. On peut isoler une partie proportionnelle à la dérivée du dénominateur, mais il reste une autre partie à intégrer.

Reconnaître les autres formes

Dans les formes suivantes, $A$, $B$ et $D$ sont des coefficients réels inconnus à déterminer en identifiant les numérateurs. On utilise $D$ pour éviter de confondre un coefficient avec la constante d’intégration $C$. Pour un facteur répété, il faut prévoir toutes les puissances jusqu’à celle qui apparaît au dénominateur. Après la division éventuelle, un dénominateur $x(x+1)^2$ conduit à la forme :

$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^2}.$$

Un polynôme quadratique irréductible ne se factorise pas en facteurs linéaires réels. Un tel facteur, par exemple $x^2+1$, demande un numérateur de degré au plus un : $(Ax+B)/(x^2+1)$. Il peut mener à des logarithmes et à des arctangentes. Un dénominateur qui ne se décompose pas en facteurs linéaires réels ne marque donc pas la fin de la méthode.

Par exemple, séparer les deux termes du numérateur fait apparaître deux formes connues :

$$\begin{aligned}&\int\frac{2x+3}{x^2+1}\,dx\\&=\ln(x^2+1)\\&\quad+3\arctan x+C.\end{aligned}$$

7. Combiner les méthodes et vérifier le domaine

Plusieurs méthodes peuvent se succéder. Dans $\int x^3e^{x^2}\,dx$, écrivons $x^3\,dx=x^2(x\,dx)$. On pose $u=x^2$, puis on intègre $ue^u$ par parties :

$$\begin{aligned}&\int x^3e^{x^2}\,dx\\&=\frac12\int ue^u\,du\\&=\frac12(u-1)e^u+C\\&=\frac12(x^2-1)e^{x^2}+C.\end{aligned}$$

Après une substitution, posez-vous de nouveau la question : quelle est la structure de la nouvelle intégrale?

Une primitive se considère sur un intervalle

Dans l’exemple de fractions partielles, l’intégrande n’est défini ni en $-2$ ni en $-1$. La formule de la primitive est valable sur chacun des trois intervalles séparés par ces points. Les constantes choisies sur des intervalles différents ne sont pas forcément égales.

N’appliquez pas directement la différence des valeurs aux bornes en traversant une singularité sans vérifier les intégrales impropres correspondantes. Par exemple, $\int_{-1}^{1}1/x\,dx$ diverge au sens usuel des intégrales impropres. Substituer les bornes dans $\ln|x|$ pour annoncer zéro est incorrect.

Quand reconsidérer une méthode et comment vérifier

Dérivez la réponse proposée et simplifiez jusqu’à retrouver l’intégrande initial. Vérifiez les signes, les facteurs constants et l’intervalle sur lequel les deux expressions sont valables. Un test numérique ponctuel peut révéler une erreur, mais il ne prouve ni une identité ni la convergence d’une intégrale.

Si votre essai laisse une intégrale plus difficile, réexaminez le choix. Des identités trigonométriques, une substitution trigonométrique, plusieurs intégrations par parties ou d’autres outils peuvent être appropriés. Certaines fonctions continues, dont $e^{x^2}$, possèdent des primitives qui ne s’expriment pas à l’aide des fonctions élémentaires : combinaisons finies des fonctions algébriques, exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et trigonométriques réciproques usuelles. On peut tout de même approcher numériquement leurs intégrales définies sur des intervalles finis. L’échec d’une méthode ne prouve pas l’absence de primitive élémentaire.

Lorsqu’il reste un radical quadratique, comparez ci-dessous les substitutions par le sinus, la tangente et la sécante. Choisissez l’identité et l’intervalle angulaire, puis vérifiez le signe avant de calculer.

8. Substitution trigonométrique : choisir selon le radical et son signe

Une substitution trigonométrique peut transformer un radical quadratique en une expression trigonométrique connue. Vérifiez d’abord si un changement de variable ordinaire suffit : la présence de $x\,dx$ peut rendre le choix $u=x^2+a^2$ efficace. Sinon, comparez les trois formes ci-dessous. Soit $a>0$ une constante fixée; le nouvel angle $\theta$ est mesuré en radians. Ici, $\sec\theta=1/\cos\theta$.

Trois radicaux, trois identités

Le carré d’une constante moins celui de la variable : pour $\sqrt{a^2-x^2}$, choisissez le sinus, car $1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$.

$$\begin{gathered}x=a\sin\theta,\\dx=a\cos\theta\,d\theta,\\-\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2,\\\sqrt{a^2-x^2}=a|\cos\theta|\\=a\cos\theta.\end{gathered}$$

Cet intervalle couvre $-a\le x\le a$ et donne $\cos\theta\ge0$. Si le radical est au dénominateur, excluez $x=\pm a$ et utilisez l’intervalle angulaire ouvert. Pour un exemple complet avec retour à $x$, consultez la question 6(b) : substitution par le sinus pour une différence de carrés.

Une somme de carrés : pour $\sqrt{a^2+x^2}$, choisissez la tangente, car $1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$.

$$\begin{gathered}x=a\tan\theta,\\dx=a\sec^2\theta\,d\theta,\\-\frac\pi2<\theta<\frac\pi2,\\\sqrt{a^2+x^2}=a|\sec\theta|\\=a\sec\theta.\end{gathered}$$

Cet intervalle couvre tous les réels $x$ et donne $\sec\theta>0$, même lorsque $x<0$. Consultez la solution 6 : substitution par la tangente avec changement des bornes pour un exemple complet d’intégrale définie. Ces exemples liés sont des exercices originaux présentés dans le contexte de MATH 205 à Concordia; ils peuvent servir d’exercices thématiques dans d’autres cours, sans constituer des évaluations officielles.

Le carré de la variable moins celui d’une constante : pour $\sqrt{x^2-a^2}$, choisissez la sécante, car $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$. Commençons par la branche $x>a$ :

$$\begin{gathered}x=a\sec\theta,\\dx=a\sec\theta\tan\theta\,d\theta,\\0<\theta<\frac\pi2,\\\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan\theta|\\=a\tan\theta.\end{gathered}$$

Ici, $\sec\theta$ et $\tan\theta$ sont positives. Le radical est aussi réel pour $x\le-a$, mais cette branche exige un autre choix d’angle et de signe. La règle générale est $\sqrt{z^2}=|z|$ pour tout réel $z$; c’est l’intervalle choisi pour l’angle qui permet d’enlever la valeur absolue. En $x=\pm a$, vérifiez l’intégrande initial avant d’inclure une extrémité.

Repérer l’erreur de signe sur la branche négative

Pour $x<-a$, on peut encore choisir $x=a\sec\theta$, cette fois avec $\pi/2<\theta<\pi$. Sur cet intervalle, $\sec\theta<0$ et $\tan\theta<0$, donc

$$\begin{aligned}\sqrt{x^2-a^2}&=a|\tan\theta|\\&=-a\tan\theta.\end{aligned}$$

Par exemple, $\theta=2\pi/3$ donne $x=-2a$ et $\tan\theta=-\sqrt3$. La racine carrée vaut $a\sqrt3>0$, alors que $a\tan\theta$ est négatif. Réutiliser la simplification de la branche positive inverserait le signe. Travaillez séparément sur chaque intervalle connexe; la constante d’intégration d’une branche ne détermine pas celle de l’autre.

Trois vérifications progressives

Utilisez ces questions pour vous exercer; ouvrez une réponse quand cela vous aide. Écrivez la substitution, l’intervalle angulaire et la différentielle avant de simplifier les facteurs.

Si un signe ou une substitution vous semble incertain, un tuteur peut comparer les trois identités avec vous, choisir un intervalle angulaire et vous aider à vérifier chaque facteur avant un nouvel exemple. Vous pouvez partir des bases. Les séances de tutorat sont actuellement offertes en anglais.

9. S’exercer à choisir avant de calculer

Pour chaque exercice, justifiez votre première étape en une phrase. Vérifiez une primitive en la dérivant; pour une intégrale définie, contrôlez les bornes transformées et le calcul aux bornes. Ajoutez $+C$ seulement aux intégrales indéfinies et précisez les restrictions.

Niveau 1 : une première étape suggérée

1. Faire correspondre une dérivée. Choisissez $u=x^2+3$. Quel facteur constant compense la différence entre $du$ et le numérateur accompagné de $dx$?

$$\int\frac{4x}{x^2+3}\,dx$$

2. Réduire un facteur. Essayez $u=x$. Trouvez soigneusement $v$ avant d’appliquer l’intégration par parties.

$$\int x\cos(2x)\,dx$$

Niveau 2 : moins d’indices

3. Comparer les indices. Expliquez pourquoi ces deux quotients suggèrent des primitives usuelles différentes.

$$\begin{aligned}\text{(a)}&\quad\int\frac{x}{x^2+4}\,dx\\\text{(b)}&\quad\int\frac1{x^2+4}\,dx\end{aligned}$$

4. Éviter le travail inutile. Simplifiez avant de choisir une technique particulière.

$$\int\frac{x^2+3x+2}{x+1}\,dx$$

5. Décomposer et justifier. Trouvez les deux coefficients et indiquez les intervalles permis.

$$\int\frac{2x+7}{(x+2)(x+3)}\,dx$$

Niveau 3 : choisir sans indication

6. Choisir et justifier une démarche. Expliquez en quoi chaque étape aide.

$$\int x^3\cos(x^2)\,dx$$

7. Garder des bornes cohérentes. Calculez l’intégrale et expliquez votre première étape.

$$\int_0^1\frac{2x}{(x^2+1)^2}\,dx$$

8. Analyser une réponse fausse. Une personne affirme que $\int e^{x^2}\,dx=e^{x^2}/(2x)+C$ pour $x\ne0$. Dérivez la primitive proposée. Expliquez pourquoi « diviser par la dérivée intérieure » échoue ici.

10. Solutions expliquées

Complément facultatif : estimer une intégrale à partir de mesures

L’estimation de 35 minutes du guide concerne le parcours principal d’intégration exacte. Prévoyez 20 à 25 minutes supplémentaires pour ce complément et ses quatre exercices. Utilisez-le si votre cours comprend l’intégration numérique. Les sections précédentes cherchent des primitives exactes; ici, les données peuvent être un tableau de taux mesurés ou une fonction dont l’intégrale définie se calcule plus facilement par approximation.

Commencez par la quantité recherchée. Si le débit d’une pompe est $q(t)$ litres par minute, alors $\int_a^b q(t)\,dt$ représente le volume fourni entre les instants $a$ et $b$, en litres. Un tableau ne donne le débit qu’aux instants de mesure. Toute estimation entre ces instants repose sur une hypothèse d’interpolation.

1. Relier les mesures voisines par des segments

Soient $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ les positions des mesures, et posons $f_i=f(x_i)$. Il y a $n$ intervalles et $n+1$ valeurs mesurées. L’estimation par un trapèze sur un intervalle est sa largeur multipliée par la moyenne des deux valeurs aux extrémités :