Séries de puissances : trouver l’intervalle et tester les bornes

Nablio · 60 minPublié le 3 octobre 2026

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Pour les notions du cours et l’aide individuelle, consultez le tutorat MATH 205 à Concordia.

Une série de puissances peut converger pour une valeur de $x$ et diverger pour une autre. On cherche toutes les valeurs qui donnent une série convergente. Le rayon de convergence indique une distance à partir du centre; il ne détermine pas si les bornes appartiennent à l’intervalle.

À la fin de cette leçon, vous devriez pouvoir trouver ce rayon, tester les deux bornes dans la série initiale et distinguer convergence absolue et convergence conditionnelle. La première partie comprend deux exemples résolus et quatre exercices; la section facultative de construction ajoute trois exemples résolus et six exercices, avec des indices et des solutions expliquées séparés.

Vous devriez déjà connaître les séries géométriques, le critère du rapport, les séries de Riemann et le critère des séries alternées. Pour réviser brièvement le raisonnement lié au critère du rapport, à la comparaison et à la convergence conditionnelle, essayez trois décisions de convergence à justifier. Ici, $x$ est réel et les exemples des sections 1 à 7 commencent à $n=1$ ; ceux de la section 8 commencent à $n=0$ , sauf indication contraire.

1. Ce que le rayon permet de conclure

Une série de puissances de centre $a$ , aussi appelée série entière, s’écrit

$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n.$

Les coefficients $c_n$ et le centre $a$ sont fixes; la variable $x$ peut prendre différentes valeurs. Pour une valeur de $x$ donnée, on obtient une série numérique. Elle converge si ses sommes partielles tendent vers un nombre fini. Dans la forme générale ci-dessus, le terme constant est $c_0$ ; au centre, toutes les puissances d’exposant positif s’annulent, donc la série converge vers $c_0$ . Dans les exemples des sections 1 à 7, qui commencent à $n=1$ , la somme au centre vaut zéro.

La convergence absolue signifie que la série des valeurs absolues converge. Elle entraîne la convergence de la série initiale. La convergence conditionnelle signifie que la série initiale converge, mais que la série des valeurs absolues diverge.

Pour un rayon $R$ fini et strictement positif, le théorème de convergence des séries de puissances distingue trois régions :

À l’intérieur : si $|x-a|<R$ , la série converge absolument.
À l’extérieur : si $|x-a|>R$ , la série diverge.
Aux bornes : si $x=a-R$ ou $x=a+R$ , un test distinct est nécessaire.

Une droite graduée de centre a. Entre a moins R et a plus R, la convergence est absolue. Chaque borne porte un point d’interrogation et demande un test distinct. À l’extérieur, la série diverge. — Le rayon situe les bornes. Les critères appliqués à chacune d’elles déterminent si on doit les inclure.

L’intervalle de convergence est l’ensemble des valeurs réelles pour lesquelles la série converge. Pour un rayon fini et strictement positif, il peut être ouvert, fermé ou inclure une seule borne. Nous utilisons ici la notation avec parenthèses et crochets : un crochet fermé inclut la borne; une parenthèse l’exclut. Le rayon est la moitié de la distance entre les bornes, quels que soient les crochets.

2. Une démarche qui réserve un test aux bornes

Repérez le centre et nommez le terme. Notez le terme $u_n(x)$ . Si un rapport conduit à une division par zéro au centre, traitez directement cette valeur.
Trouvez l’intérieur de l’intervalle. Pour une valeur fixe où les rapports sont définis, calculez $L(x)=\lim_{n\to\infty}|u_{n+1}(x)/u_n(x)|$ . Le critère du rapport donne la convergence absolue si $L(x)<1$ et la divergence si $L(x)>1$ , y compris lorsque la limite est infinie. Il ne conclut pas si $L(x)=1$ . Si la limite du rapport n’existe pas ou si les rapports sont indéfinis, choisissez un autre critère, par exemple celui de la racine.
Résolvez l’inégalité pour $x$ . Écrivez-la sous la forme $|x-a|<R$ , ou sous forme d’intervalle ouvert, puis identifiez le centre et le rayon.
Remplacez la variable par chaque borne finie dans le terme initial. Simplifiez la série numérique obtenue avant de choisir un critère de convergence. Une limite du rapport égale à un ne décide rien à ces bornes.
Donnez une réponse complète. Indiquez l’intervalle, le rayon et les bornes où la convergence est conditionnelle. Vérifiez que le centre est inclus et qu’il est à égale distance des deux bornes.

Repères utiles aux bornes : une série de Riemann $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^p$ converge exactement lorsque $p>1$ . Une série alternée dont les valeurs absolues positives décroissent vers zéro converge; pour savoir si cette convergence est absolue, testez séparément la série des valeurs absolues.

3. Exemple résolu : une seule borne incluse

Trouvez le rayon et l’intervalle de convergence de

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{4^n n}.$

Repérer le centre et calculer le rapport

Le centre est $a=1$ . Pour $x=1$ , tous les termes sont nuls, donc la série converge. Pour $x\ne1$ , posons $u_n(x)=(x-1)^n/(4^n n)$ . Simplifions les facteurs dans le rapport des valeurs absolues :

$\begin{aligned}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|&=\frac{|x-1|}{4}\frac{n}{n+1},\\L(x)&=\frac{|x-1|}{4}.\end{aligned}$

Pour un $x$ fixé, le facteur $|x-1|/4$ reste constant quand $n$ augmente, alors que $n/(n+1)\to1$ .
Trouver l’intervalle ouvert et le rayon

La convergence absolue est établie lorsque

$\begin{gathered}|x-1|<4\\\iff-4<x-1<4\\\iff-3<x<5.\end{gathered}$

On obtient donc $R=4$ . La série diverge si $x<-3$ ou $x>5$ . À chaque borne, la limite du rapport vaut un : il est encore trop tôt pour choisir les crochets.
Tester la borne gauche dans la série initiale

Pour $x=-3$ , le facteur $(x-1)/4$ vaut $-1$ . La série devient

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}.$

Les valeurs absolues sont positives, décroissent puisque $1/(n+1)<1/n$ , et tendent vers zéro. Le critère des séries alternées établit la convergence. La série des valeurs absolues est la série harmonique, qui diverge : la convergence à cette borne est donc conditionnelle.
Tester la borne droite et réunir les conclusions

Pour $x=5$ , le facteur $(x-1)/4$ vaut $1$ . On obtient la série harmonique, qui diverge. On inclut la borne gauche et on exclut la borne droite :

$\boxed{R=4,\qquad x\in[-3,5).}$

La convergence est absolue pour $-3<x<5$ , conditionnelle en $x=-3$ , et la série diverge partout ailleurs. Chaque borne est à quatre unités du centre.

Pour l’exemple résolu, l’intervalle va de moins 3 inclus à 5 exclu, avec 1 pour centre. À gauche, la convergence est conditionnelle; à l’intérieur, elle est absolue; à droite, la série diverge. Chaque borne est à quatre unités du centre. — Le point plein en −3 signifie « inclus », et non « convergence absolue ». Les justifications aux bornes expliquent cette distinction.

4. Exemple résolu : les deux bornes incluses

Trouvez maintenant l’intervalle de convergence de

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x-1)^n}{n^2}.$

Lire le centre dans l’expression complète

Puisque $2x-1=2(x-\tfrac12)$ , le centre est $a=\tfrac12$ , et non un. Pour cette valeur, tous les termes sont nuls. Pour $x\ne\tfrac12$ , le rapport vaut

$\begin{aligned}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|&=|2x-1|\frac{n^2}{(n+1)^2},\\L(x)&=|2x-1|.\end{aligned}$
Résoudre l’inégalité avant de donner le rayon

$\begin{gathered}|2x-1|<1\\\iff-1<2x-1<1\\\iff0<x<1.\end{gathered}$

L’intérieur est $(0,1)$ : son milieu vaut $\tfrac12$ et son rayon vaut $R=\tfrac12$ . Le coefficient deux modifie le rayon; le membre droit de la première inégalité ne donne pas à lui seul le rayon.
Vérifier la convergence absolue aux deux bornes

Pour $x=0$ , la série est $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n^2$ . Pour $x=1$ , elle est $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2$ . Aux deux bornes, les valeurs absolues forment la série de Riemann convergente d’exposant $p=2$ . La convergence est donc absolue aux deux bornes.

$\boxed{R=\tfrac12,\qquad x\in[0,1].}$

La série converge absolument sur tout l’intervalle fermé et diverge à l’extérieur. Aucune valeur ne donne ici une convergence conditionnelle.

5. Un rayon nul ou infini

Une série de puissances n’a pas toujours deux bornes finies. Si elle converge absolument pour tout réel, on écrit $R=\infty$ et l’intervalle $(-\infty,\infty)$ . L’infini n’est pas une valeur à substituer dans la série et ne reçoit jamais de crochet fermé.

Si la série converge uniquement au centre, on écrit $R=0$ et on donne l’ensemble $\{a\}$ . Inutile d’inventer deux tests de bornes différents pour le même point. L’exercice 4 vous fait reconnaître ces deux cas à partir de factorielles.

6. Quatre exercices à essayer

Gardez d’abord les réponses fermées. La progression va de l’interprétation d’une inégalité à l’étude des signes aux bornes et des rayons particuliers. Chaque réponse justifie les conditions nécessaires, au-delà des seuls crochets.

Exercice 1 : distinguer le rayon des crochets

Pour une série de puissances, la limite du rapport hors du centre est $L(x)=|2x+4|$ . Résolvez $L(x)<1$ pour trouver le centre, le rayon et l’intervalle ouvert. Cette inégalité permet-elle à elle seule de décider si les bornes sont incluses?

Afficher un indice pour l’exercice 1

Mettez deux en facteur, puis résolvez la double inégalité. Distinguez « là où le critère établit la convergence » de « là où la série initiale converge ».

Afficher la réponse expliquée de l’exercice 1

Puisque $|2x+4|=2|x+2|$ , l’inégalité devient $|x+2|<\tfrac12$ . Ainsi, $a=-2$ , $R=\tfrac12$ , et l’intervalle ouvert est $(-\tfrac52,-\tfrac32)$ .

L’inégalité seule ne donne aucune conclusion aux bornes. Il faut encore étudier la série initiale en $x=-\tfrac52$ et en $x=-\tfrac32$ . Une limite du rapport égale à un ne conclut pas; n’incluez ni n’excluez une borne sans un autre argument.

Exercice 2 : l’alternance suffit-elle?

Trouvez le rayon et l’intervalle de cette série de puissances géométrique :

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x-2}{5}\right)^n.$

Afficher un indice pour l’exercice 2

La valeur absolue de la raison géométrique doit être inférieure à un. À chaque borne, vérifiez si les termes tendent vers zéro avant de chercher un autre critère.

Afficher la réponse expliquée de l’exercice 2

La raison géométrique est $(x-2)/5$ . Sa valeur absolue est inférieure à un exactement lorsque $-3<x<7$ ; on a donc $a=2$ et $R=5$ . Le centre est inclus, car tous les termes y sont nuls. Pour $x<-3$ ou $x>7$ , les valeurs absolues des termes augmentent au lieu de tendre vers zéro.

Pour $x=-3$ , les termes valent $(-1)^n$ : ils alternent, mais ne tendent pas vers zéro. Pour $x=7$ , tous les termes valent un. Les deux séries aux bornes divergent, car la convergence d’une série exige que ses termes tendent vers zéro.

L’intervalle est $(-3,7)$ , avec convergence absolue à l’intérieur et aucune borne incluse. L’alternance des signes ne suffit jamais à appliquer le critère des séries alternées.

Exercice 3 : quelle borne donne une convergence conditionnelle?

Trouvez le rayon, l’intervalle et les valeurs où la convergence est conditionnelle pour

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(x+2)^n}{3^n\sqrt n}.$

Afficher un indice pour l’exercice 3

Le facteur alterné supplémentaire ne change pas le rapport des valeurs absolues. Il change toutefois le résultat de la substitution aux bornes : simplifiez ensemble les deux facteurs qui portent un signe.

Afficher la réponse expliquée de l’exercice 3

Le centre est $a=-2$ , où tous les termes s’annulent. Pour $x\ne-2$ ,

$\begin{gathered}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|\\=\frac{|x+2|}{3}\sqrt{\frac{n}{n+1}},\\L(x)=\frac{|x+2|}{3}.\end{gathered}$

La convergence est absolue si $|x+2|<3$ , soit $-5<x<1$ . Ainsi, $R=3$ , et la série diverge à l’extérieur des bornes.

Pour $x=-5$ , les deux facteurs $(-1)^n$ donnent un produit égal à un. La série positive obtenue est $\sum_{n=1}^{\infty}1/\sqrt n$ , une série de Riemann divergente d’exposant $p=\tfrac12$ .

Pour $x=1$ , la série est $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/\sqrt n$ . Ses valeurs absolues positives décroissent puisque $1/\sqrt{n+1}<1/\sqrt n$ , et tendent vers zéro. Le critère des séries alternées établit la convergence. La série des valeurs absolues est la série de Riemann divergente déjà reconnue : la convergence à cette borne est donc conditionnelle.

La réponse est $R=3$ et $(-5,1]$ : convergence absolue sur $(-5,1)$ , convergence conditionnelle uniquement en $x=1$ . La borne gauche ne donne pas automatiquement la série alternée.

Exercice 4 : les factorielles changent tout l’intervalle

Comparez ces deux séries. Trouvez le centre, le rayon et l’ensemble de convergence de chacune :

$\begin{aligned}A(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^n}{n!},\\B(x)&=\sum_{n=1}^{\infty}n!(x-4)^n.\end{aligned}$

Ici, $n!=1\cdot2\cdots n$ , donc $(n+1)!=(n+1)n!$ .

Afficher un indice pour l’exercice 4

Simplifiez les factorielles dans chaque rapport des valeurs absolues. Gardez la variable fixe pendant que l’indice augmente, et vérifiez directement chaque centre.

Afficher la réponse expliquée de l’exercice 4

Pour $A$ , le centre est $-1$ , où tous les termes s’annulent. Ailleurs, le rapport vaut $|x+1|/(n+1)$ , qui tend vers zéro pour tout réel $x$ fixé. Le critère du rapport donne la convergence absolue pour toute valeur : $R=\infty$ et $(-\infty,\infty)$ . Aucune borne finie n’est à tester.

Pour $B$ , le centre est $4$ , où tous les termes s’annulent. Pour chaque $x\ne4$ fixé, le rapport vaut $(n+1)|x-4|$ , qui tend vers l’infini. La série diverge pour chacune de ces valeurs. Seul le centre reste : $R=0$ et l’ensemble de convergence $\{4\}$ . La convergence y est absolue, puisque tous les termes sont nuls.

7. Vérifier son raisonnement et poursuivre

Avant de choisir les crochets : avez-vous substitué chaque borne finie dans la série initiale?
Avant d’utiliser l’alternance : avez-vous vérifié des valeurs absolues positives, leur décroissance et leur limite nulle?
Avant de conclure à la convergence absolue : avez-vous testé la série des valeurs absolues?
Avant de donner le rayon : avez-vous mesuré à partir du centre, en tenant compte du facteur qui multiplie $x$ ?

Si l’algèbre vous a posé problème, reprenez l’exercice 1. Si une borne reste difficile à traiter, refermez les réponses et reprenez l’exercice 2 ou 3 en écrivant d’abord la série numérique obtenue. Si vous attendiez toujours deux bornes finies, revenez à l’exercice 4.

Pour vous entraîner davantage à choisir un critère pour une série numérique, consultez Convergence des séries : trois décisions à justifier. Le guide de MATH 205 à Concordia situe ce sujet parmi l’intégration et les autres notions du cours. Un intervalle de convergence indique où une série converge; il ne donne pas à lui seul sa somme ni une borne d’erreur d’approximation.

8. Construire une série de Maclaurin, puis l’intégrer

Vous savez maintenant trouver où converge une série donnée. La prochaine tâche suit le chemin inverse : partir d’une fonction et construire une série qui la représente. Vous utiliserez une identité géométrique, adapterez ses restrictions lors des substitutions et intégrerez pour obtenir d’autres fonctions. Ces exercices originaux ne prédisent aucun examen de cégep.

Avant de commencer : revoyez les sommes géométriques, les puissances, les primitives de base et les tests aux bornes présentés plus haut. Toutes les variables et valeurs de cette section sont sans unité. Prévoyez environ 30 à 40 minutes, ou deux séances plus courtes. Si la première ligne vous bloque, ouvrez immédiatement l’explication : vous pouvez demander de l’aide sans avoir déjà tenté une solution.

Trois questions à distinguer

Représentation : cette somme infinie est-elle égale à la fonction?
Convergence : pour quelles valeurs la somme existe-t-elle?
Approximation : quel écart sépare une somme finie de la fonction?

Le critère du rapport peut établir la convergence sans identifier la somme. Un polynôme est défini pour tout réel, même si la série infinie dont il provient ne représente la fonction que sur un petit intervalle. Écrivez ensemble l’égalité, ses conditions et, s’il y a lieu, le signe d’approximation. Pour les intervalles ci-dessous, une parenthèse exclut une borne et un crochet fermé l’inclut.

Exemple résolu 3 : faire apparaître une série géométrique

Trouvez une représentation de Maclaurin de $f(x)=1/(2+x)$ , ses quatre premiers termes non nuls et son intervalle de convergence complet. Une série de Maclaurin est une série de puissances centrée en zéro.

Partez de l’identité géométrique en conservant sa condition :

\frac1{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n,\qquad |u|<1.

Factorisez le dénominateur avant de substituer. Ici, $u=-x/2$ et le facteur $1/2$ reste à l’extérieur de la somme :

\begin{aligned}\frac1{2+x}&=\frac12\frac1{1-(-x/2)}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{2^{n+1}}\\&=\frac12-\frac{x}{4}+\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}+\cdots,\qquad |x|<2.\end{aligned}

En $x=-2$ , chaque terme vaut $1/2$ . En $x=2$ , les termes alternent entre $1/2$ et $-1/2$ . Dans les deux cas, ils ne tendent pas vers zéro : les séries divergent. L’intervalle complet est $(-2,2)$ , de rayon 2. Pourtant, la fonction existe en $x=2$ et y vaut $1/4$ . Cela ne suffit pas à faire converger sa série à cette borne.

Vérification avec une somme finie : pour $u\ne1$ , le reste géométrique exact est

\frac1{1-u}-\sum_{n=0}^{N}u^n=\frac{u^{N+1}}{1-u}.

En $x=1/2$ , les quatre termes donnent $P_3=51/128=0{,}3984375$ . Comme $u=-1/4$ , le reste omis vaut $\tfrac12(-1/4)^4/(1+1/4)=1/640=0{,}0015625$ . Leur somme vaut exactement $0{,}4=1/(2+1/2)$ . Ici, le reste est la différence exacte, et pas seulement une borne supérieure.

Exemple résolu 4 : intégrer change les coefficients et les bornes

Construisez une série de $\ln(1+x)$ autour de zéro. Au lieu de dériver plusieurs fois le logarithme, partez de sa dérivée :

\frac1{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n,\qquad |t|<1.

On peut intégrer une série de puissances terme à terme sur un segment fermé entièrement situé à l’intérieur de son intervalle ouvert de convergence. Pour tout $x$ fixé avec $-1<x<1$ , le segment entre 0 et $x$ respecte cette condition. La variable $t$ sert à l’intégration; $x$ est la borne.

\begin{aligned}\int_0^x\frac{dt}{1+t}&=\ln(1+x)-\ln1\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}\\&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots.\end{aligned}

Il n’y a pas de constante additive inconnue : la borne inférieure est fixée et les deux membres valent zéro en $x=0$ . Pour une intégrale indéfinie, ajoutez une constante et déterminez-la à l’aide d’une valeur comme $F(0)=0$ . Ne remplacez pas $n+1$ par $n$ au dénominateur sans adapter aussi l’indice de départ, l’exposant et le signe.

L’intégration conserve le rayon de convergence, mais il faut tester les bornes de nouveau. En $x=-1$ , on obtient $-\sum_{n=0}^{\infty}1/(n+1)$ , qui diverge. En $x=1$ , on obtient la série harmonique alternée, qui converge conditionnellement. L’intervalle est donc $(-1,1]$ .

La somme en 1 vaut-elle vraiment $\ln2$ ? La convergence seule ne démontre pas cette identité. Utilisons une identité finie, sans intégrer directement une série infinie à sa borne :

\frac1{1+t}=\sum_{n=0}^{N}(-t)^n+\frac{(-t)^{N+1}}{1+t}.

Intégrez cette égalité finie de 0 à 1. La valeur absolue de l’intégrale du reste est au plus $\int_0^1t^{N+1}dt=1/(N+2)$ , qui tend vers zéro. La somme harmonique alternée vaut donc $\ln2$ . L’égalité à la borne a maintenant sa propre justification.

Exemple résolu 5 : obtenir une fonction à partir de puissances paires

Représentez $\arctan x$ en intégrant une série de $1/(1+x^2)$ . Dans l’identité géométrique, posez $u=-t^2$ :

\frac1{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^{2n},\qquad |t|<1.

Intégrez de 0 à $x$ , d’abord pour $|x|<1$ . Puisque $\arctan0=0$ ,

\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots.

Le nouveau dénominateur est $2n+1$ , soit l’exposant obtenu après intégration. Le rayon reste égal à 1. Aux deux bornes, la série des valeurs absolues est la série divergente des inverses des entiers positifs impairs; les signes alternés donnent une convergence conditionnelle. L’intervalle de convergence est $[-1,1]$ .

Pour identifier les sommes aux bornes, intégrez le reste géométrique fini. Sur $[0,1]$ , sa valeur absolue après intégration est au plus $\int_0^1t^{2N+2}dt=1/(2N+3)$ , qui tend vers zéro. La série en 1 a donc pour somme $\arctan1=\pi/4$ . L’imparité donne $-\pi/4$ en −1.

À l’intérieur de l’intervalle, les trois premiers termes non nuls en $x=1/2$ donnent $1/2-1/24+1/160=223/480\approx0{,}4645833333$ . Le premier terme omis a pour valeur absolue $(1/2)^7/7=1/896$ . Les valeurs absolues décroissent vers zéro : l’estimation des séries alternées borne donc l’erreur de troncature par $1/896\approx0{,}0011161$ . Cette vérification de précision est facultative; votre cours peut demander seulement la représentation.

Six exercices : de la substitution à une intégrale en autonomie

Vous pouvez lire un indice ou une solution immédiatement, puis les refermer pour reconstruire la démarche. Pour chaque représentation, donnez les termes et l’intervalle.

Substitution guidée. Trouvez les quatre premiers termes non nuls et l’intervalle pour $1/(3-2x)$ .
Indice
Mettez 3 en facteur. La raison géométrique est $2x/3$ .
Solution et vérification
$1/(3-2x)=\sum_{n=0}^{\infty}2^nx^n/3^{n+1}=1/3+2x/9+4x^2/27+8x^3/81+\cdots$ . La condition $|2x/3|<1$ donne $(-3/2,3/2)$ . À chaque borne, les termes gardent la valeur absolue $1/3$ ; les deux séries divergent. En zéro, la somme commence par $1/3$ , comme la fonction.
Réparer une substitution. Une personne écrit $1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$ « pour tout réel $x$ , car $1+x^2$ ne s’annule jamais ». Quelle partie est correcte? Que faut-il corriger?
Indice
Vérifiez la raison géométrique, puis la série en $x=2$ .
Solution et vérification
Les coefficients sont corrects. La représentation vaut seulement pour $|x|<1$ , puisque la raison est $-x^2$ . En $x=\pm1$ , les termes alternent entre 1 et −1 sans tendre vers zéro. En $x=2$ , leurs valeurs absolues sont $1,4,16,\ldots$ , même si la fonction vaut $1/5$ . Le domaine de la fonction et l’intervalle de convergence de sa série de Maclaurin sont deux ensembles différents.
Changer l’échelle d’un logarithme. Représentez $\ln(1+2x)$ par une série de Maclaurin. Donnez quatre termes non nuls et l’intervalle complet.
Indice
Remplacez l’argument entier de la série du logarithme par $2x$ . Testez ensuite les deux bornes.
Solution et vérification
$\ln(1+2x)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}(2x)^k/k=2x-2x^2+8x^3/3-4x^4+\cdots$ , sur $(-1/2,1/2]$ . À gauche, on obtient une série harmonique négative; à droite, une série harmonique alternée de somme $\ln2$ . La dérivée en zéro vaut 2, comme le coefficient du terme linéaire. Chaque puissance exige son propre facteur $2^k$ .
Retrouver la constante. On sait que $F'(x)=1/(1-x)$ pour $|x|<1$ et que $F(0)=3$ . Trouvez une série de $F$ , puis une expression sans somme pour la vérifier.
Indice
Intégrez de 0 à $x$ en gardant $F(x)-F(0)$ à gauche.
Solution et vérification
$F(x)=3+\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}/(n+1)=3+x+x^2/2+x^3/3+\cdots$ . Sur $(-1,1)$ , l’expression est $3-\ln(1-x)$ . Dérivez-la et évaluez-la en zéro pour vérifier les deux conditions. La série elle-même converge sur $[-1,1)$ : elle est harmonique alternée à gauche et harmonique à droite. Les conditions initiales définissaient $F$ seulement pour $|x|<1$ ; elles n’attribuent donc pas à elles seules de valeur à $F(-1)$ . Son prolongement continu en ce point vaudrait $3-\ln2$ .
Nombre de termes ou degré. Trouvez les trois premiers termes non nuls de la série de Maclaurin de $x^2\arctan x$ . Le polynôme obtenu est-il de degré trois?
Indice
Multipliez chaque puissance par $x^2$ , plutôt que chaque coefficient.
Solution et vérification
$x^2\arctan x=x^3-x^5/3+x^7/5-\cdots$ . Les trois termes non nuls donnent un polynôme de degré sept, et non de degré trois. La représentation vaut sur $[-1,1]$ : multiplier par $x^2$ conserve les égalités déjà justifiées aux bornes. Pour $|x|>1$ , les termes ne tendent pas vers zéro. En zéro, les deux membres s’annulent.
Transfert en autonomie. Pour $G(x)=\int_0^x t^2/(1+t^2)\,dt$ , trouvez une série, son intervalle de convergence complet et une estimation de $G(1/2)$ avec ses deux premiers termes non nuls. Bornez l’erreur de troncature.
Indice
Multipliez la série géométrique par $t^2$ , puis intégrez. Vérifiez avec $t^2/(1+t^2)=1-1/(1+t^2)$ .
Solution et vérification
À l’intérieur de $(-1,1)$ , $G(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n+3}/(2n+3)=x^3/3-x^5/5+x^7/7-\cdots$ . L’expression $x-\arctan x$ vérifie la dérivée et la valeur en zéro. Les deux bornes donnent une convergence conditionnelle et les mêmes valeurs que la fonction, d’après les identités déjà démontrées; l’intervalle complet est $[-1,1]$ . En $1/2$ , l’estimation à deux termes vaut $1/24-1/160=17/480\approx0{,}0354166667$ . Les termes alternent et leurs valeurs absolues décroissent vers zéro : l’erreur est au plus $1/896$ . Le premier terme omis est positif, donc la valeur exacte dépasse l’estimation. Si vous arrondissez le résultat, ajoutez séparément une marge pour l’erreur d’arrondi.

Choisir la prochaine étape

Si la factorisation du dénominateur vous bloque, reprenez l’exercice 1. Si vous avez utilisé le domaine de la fonction comme intervalle, revoyez l’exercice 2. Si vous perdez une constante ou un exposant, refaites l’exercice 4 ou 6 et dérivez le résultat à l’intérieur de l’intervalle ouvert. Pour une approximation finie avec une garantie fondée sur les dérivées, consultez les polynômes de Taylor et bornes d’erreur si cette méthode fait partie de votre cours.

Pour une aide liée à votre cours, consultez le guide Dawson 201-SN3-RE de calcul intégral ou le guide Marianopolis Sciences 201-SN3-RE. Indiquez votre plan de cours actuel et l’étape qui vous bloque; vous pouvez commencer sans avoir tenté de solution. Les séances de tutorat se déroulent en anglais. Cette ressource écrite est disponible en français et en anglais.

Portée et sources : la liste officielle des cours de Dawson inclut les représentations par séries de puissances et les développements de Maclaurin dans le cours de Sciences 201-SN3-RE. La description de Marianopolis de janvier 2026 inclut une introduction aux séries et aux séries de puissances. Ce document couvre l’automne 2024 à l’hiver 2026; il ne détermine pas les évaluations d’une section actuelle. Vérifiez dans votre plan de cours les opérations et méthodes d’estimation exigées. Un titre de cours ne suffit pas à établir une équivalence entre programmes. Le théorème qui autorise les opérations à l’intérieur de l’intervalle est présenté dans OpenStax : propriétés des séries de puissances (en anglais). Tous les exemples sont des exercices originaux de Nablio.

Contexte du cours et source

La description officielle de MATH 205 au calendrier de Concordia comprend les critères de convergence et les séries de puissances. Consultez votre plan actuel pour savoir quand travailler ces notions. Ces exemples et exercices sont du matériel original de Nablio. Nablio est indépendant de Concordia.

Calendrier de premier cycle de Concordia : description de MATH 205 (en anglais)

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