Triangles rectangles : longueurs et angles

Lire le triangle d’abord

Un triangle rectangle possède un angle de $90^\circ$. Les deux côtés qui forment cet angle sont les côtés de l’angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse; c’est le côté le plus long. Tourner un dessin ne change pas le côté qui est l’hypoténuse.

Vous utiliserez la multiplication, les racines carrées et des équations simples. Une calculatrice est utile pour les exemples sur les angles et les problèmes écrits. Tous les angles de cette leçon sont en degrés : utilisez le mode degrés. Il s’agit d’exercices originaux, et non d’un cours complet du secondaire ou du cégep.

1 Distinguer le contour de la surface

Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses trois côtés. Son aire est la moitié du produit d’une base par la hauteur perpendiculaire à cette base. La hauteur doit rencontrer la base choisie, ou son prolongement, à angle droit. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit peuvent servir de base et de hauteur.

Exemple résolu : un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 3 cm et de 4 cm, et une hypoténuse de 5 cm.

$$\begin{aligned} P&=3+4+5=12\text{ cm},\\ A&=\frac{1}{2}(4)(3)=6\text{ cm}^2. \end{aligned}$$

Ici, $P$ désigne le périmètre et $A$ l’aire. Le centimètre mesure une longueur; le centimètre carré mesure une aire. Pour ce calcul d’aire, l’hypoténuse n’est pas la hauteur correspondant à la base de 4 cm.

À vous : un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 9 cm et de 12 cm, et une hypoténuse de 15 cm. Trouvez son périmètre et son aire.

2 Utiliser Pythagore lorsque deux longueurs sont connues

Dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit ont pour longueurs $a$ et $b$, et dont l’hypoténuse a pour longueur $c$,

$$a^2+b^2=c^2.$$

Utilisez la même unité de longueur pour les trois côtés. La lettre $c$ désigne ici l’hypoténuse; un autre énoncé peut utiliser une autre lettre.

Exemple résolu : les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. Trouvez l’hypoténuse $c$.

$$\begin{aligned} c^2&=6^2+8^2=36+64=100,\\ c&=\sqrt{100}=10. \end{aligned}$$

L’hypoténuse mesure 10 cm. On prend la racine carrée positive, car $c$ est une longueur. Comme prévu, elle est plus longue que chacun des deux autres côtés.

À vous : trouvez l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 5 m et 12 m.

3 Soustraire lorsque le côté inconnu est un côté de l’angle droit

Exemple résolu : un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 cm et un côté de l’angle droit de 5 cm. Soit $b$ la longueur de l’autre côté de l’angle droit, exprimée en centimètres.

$$\begin{aligned} 5^2+b^2&=13^2,\\ b^2&=169-25=144,\\ b&=12. \end{aligned}$$

Le côté inconnu mesure 12 cm. Vérification : $5^2+12^2=13^2$. Additionner $13^2+5^2$ reviendrait à traiter l’hypoténuse comme un côté de l’angle droit et à résoudre un autre problème.

À vous : l’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure 10 m et un côté de l’angle droit mesure 8 m. Trouvez l’autre côté.

4 Choisir un rapport à partir de l’angle indiqué

Choisissez un angle aigu $\theta$, donc un angle supérieur à $0^\circ$ et inférieur à $90^\circ$. Par rapport à cet angle :

• Le côté opposé se trouve en face de $\theta$.
• Le côté adjacent touche $\theta$ sans être l’hypoténuse.
• L’hypoténuse reste le côté opposé à l’angle droit.

Les trois rapports sont

$$\sin\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}},$$ $$\cos\theta=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}},$$ $$\tan\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.$$

Pour le triangle illustré, $\sin\theta=3/5$, $\cos\theta=4/5$ et $\tan\theta=3/4$. Les unités de longueur identiques se simplifient; les rapports sont donc sans unité.

Exemple résolu : un autre triangle rectangle a une hypoténuse de 12 cm et un angle aigu de $30^\circ$. Trouvez le côté opposé, dont la longueur en centimètres est $u$.

On connaît l’hypoténuse et on cherche le côté opposé : on utilise donc le sinus.

$$\begin{aligned} \sin30^\circ&=\frac{u}{12},\\ u&=12\sin30^\circ=12\left(\frac12\right)=6. \end{aligned}$$

Le côté opposé mesure 6 cm. Pour cet angle, $\sin30^\circ=1/2$ exactement. Gardez toujours le rapport associé à l’angle indiqué; en choisissant l’autre angle aigu, on échange les côtés opposé et adjacent.

À vous : un triangle rectangle a une hypoténuse de 10 m et un angle aigu de $60^\circ$. Trouvez le côté adjacent. Utilisez $\cos60^\circ=1/2$.

5 Trouver un angle à partir des deux côtés de l’angle droit

Exemple résolu : par rapport à un angle aigu inconnu $\theta$, le côté opposé mesure 3 cm et le côté adjacent 4 cm. Alors

$$\tan\theta=\frac34.$$

Utilisez la fonction réciproque de la tangente pour trouver l’angle correspondant à ce rapport :

$$\theta=\arctan\left(\frac34\right)\approx36{,}9^\circ.$$

L’expression avec $\arctan$ est exacte; $36{,}9^\circ$ est arrondi au dixième de degré. Sur plusieurs calculatrices, la touche de tangente réciproque porte l’étiquette $\tan^{-1}$. Elle désigne ici une fonction réciproque, et non $1/\tan\theta$.

Les trois angles d’un triangle totalisent $180^\circ$. L’autre angle aigu vaut donc $90^\circ-\theta$, soit environ $53{,}1^\circ$. Gardez la valeur non arrondie de la calculatrice jusqu’à l’arrondi final.

À vous : par rapport à un angle aigu $\alpha$, le côté opposé mesure 1 m et le côté adjacent mesure 1 m. Trouvez $\alpha$.

6 Transformer un problème de hauteur en triangle rectangle

Exemple résolu : vous êtes sur un sol horizontal, à 24 m horizontalement du pied d’un bâtiment vertical. Vos yeux se trouvent à 1,6 m du sol. En regardant le sommet, vous mesurez un angle d’élévation de $30^\circ$. Trouvez la hauteur du bâtiment au dixième de mètre près.

Traduire l’énoncé en croquis

Un angle d’élévation se mesure vers le haut, entre une ligne horizontale et la ligne de visée. Indiquez la position de vos yeux $E$ et le sommet $T$. Depuis $E$, tracez une horizontale jusqu’à un point $F$ sur le bâtiment, à la hauteur des yeux; reliez ensuite $E$ à $T$. L’horizontale et le mur vertical forment un angle droit en $F$. La ligne de visée inclinée $ET$ est l’hypoténuse.

Le sol horizontal place le pied du bâtiment au même niveau que le sol sous vos pieds; ainsi, $EF=24$ m. Le modèle suppose un mur vertical et une ligne de visée droite et dégagée. Sur un sol en pente, il faudrait déterminer autrement le décalage entre la hauteur des yeux et le pied du bâtiment.

Choisir le rapport avant de saisir les nombres

Par rapport à l’angle de $30^\circ$, la distance horizontale connue est le côté adjacent, et $r$ est le côté opposé. La tangente relie ces deux côtés; la distance inclinée est inconnue. Soient $r$ et $H$ les valeurs numériques des longueurs en mètres.

$$\tan30^\circ=\frac{r}{24}.$$

Trouver la hauteur au-dessus des yeux, puis ajouter 1,6 m

Utilisez le mode degrés. Isolez l’inconnue avant de calculer :

$$\begin{aligned}r&=24\tan30^\circ,\\H&=1{,}6+r\\&=1{,}6+24\tan30^\circ\\&\approx15{,}5.\end{aligned}$$

Le bâtiment mesure environ 15,5 m de haut. La hauteur au-dessus des yeux est d’environ 13,9 m. Ajouter 1,6 m permet de répondre à la question sur le bâtiment entier. Gardez la valeur non arrondie jusqu’à la réponse finale; $\tan30^\circ$ est sans unité, donc son produit par une distance en mètres donne une distance en mètres.

Vérifier le sens du résultat

Puisque $30^\circ<45^\circ$, la hauteur au-dessus des yeux doit être inférieure à la distance horizontale de 24 m. Notre résultat donne une hauteur positive inférieure à 24 m au-dessus des yeux, et une hauteur totale supérieure à 1,6 m. Écrire $H/24$ dans le rapport de tangente placerait à tort le bâtiment entier dans le triangle situé à la hauteur des yeux.

7 Construire le triangle dans une nouvelle situation

Pour chaque question, dessinez la situation, marquez l’angle droit et indiquez les mesures connues avant de choisir une équation. Les croquis facultatifs et les réponses expliquées sont disponibles dès que vous en avez besoin.

Trouver l’espace horizontal occupé par une rampe

Une rampe droite de 4,0 m relie un sol horizontal à une plateforme située à 0,9 m au-dessus de ce sol. Quelle distance horizontale sépare le bas de la rampe du point situé directement sous son sommet? Donnez la distance au dixième de mètre près. Précisez quelle mesure correspond à l’hypoténuse.

Voir un croquis et un premier indice

La mesure de 4,0 m suit la rampe inclinée. Tracez la verticale qui descend de son sommet jusqu’au sol horizontal; elle rencontre le sol à angle droit. La distance horizontale cherchée est un côté de l’angle droit.

Distinguer la longueur du fil de la distance au sol

Un cerf-volant est retenu par un fil tendu et droit de 18 m. Le fil forme un angle de $40^\circ$ avec l’horizontale à la main de la personne qui le tient, à 1,2 m au-dessus d’un sol horizontal. À quelle hauteur le cerf-volant se trouve-t-il au-dessus du sol, au dixième de mètre près? Construisez votre triangle et expliquez quel rapport convient. Supposez que le sol sous le cerf-volant est au même niveau que le sol sous la personne.

Voir un croquis et un premier indice

Tracez une horizontale depuis la main jusqu’au point situé directement sous le cerf-volant, à la hauteur de la main. Le fil est l’hypoténuse, et non le côté horizontal. Trouvez d’abord la hauteur au-dessus de la main.

8 Résoudre un problème dans l’espace avec deux triangles rectangles

Une ligne oblique qui traverse une pièce peut être plus longue qu’un côté du plancher ou que sa diagonale. Avant de calculer, décomposez la situation en deux triangles plans : l’un dans le plancher, l’autre dans un plan vertical passant par une ligne de ce plancher.

Tous les angles ci-dessous sont en degrés. Utilisez le mode degrés et conservez les valeurs non arrondies jusqu’à la réponse finale. Sauf indication contraire, arrondissez les longueurs au dixième de mètre et les angles au dixième de degré. Dans ces modèles d’entraînement, les mesures données sont considérées comme exactes.

Repérer la projection horizontale

Soit A un point d’un plancher horizontal et T un point situé au-dessus du plancher. Le point C est directement sous T; le segment TC est vertical. Le segment AC est la projection horizontale du segment oblique AT : il relie A au point directement sous T. Dans une vue de dessus, T et C apparaissent au même endroit.

Dans les cas obliques étudiés ici, A et C sont distincts : AC > 0. Un segment vertical formerait plutôt un angle de 90° avec le plan et ne formerait pas ce triangle non dégénéré.

L’angle que forme AT avec le plan horizontal est l’angle aigu entre AT et AC, au point A. Ce n’est pas, en général, l’angle entre AT et un côté du plancher. Le triangle ACT est rectangle en C, car TC est vertical et AC est horizontal.

Si AC est inconnu, calculez-le d’abord dans un triangle du plancher. Utilisez ensuite AC comme côté de l’angle droit du triangle vertical ACT. Un même segment peut donc être l’hypoténuse d’un triangle et un côté de l’angle droit du suivant.

Exemple résolu 1 : une diagonale à travers une pièce rectangulaire

Une pièce rectangulaire a un plancher horizontal de 6 m sur 8 m et un plafond situé 5 m au-dessus du plancher. Trouvez la distance en ligne droite entre un coin A du plancher et le coin opposé T du plafond, puis l’angle que forme cette ligne avec le plancher.

Le point B est le coin suivant du plancher, le long du côté de 6 m. Le point C est le coin diagonalement opposé à A, directement sous T. Ainsi, AB = 6 m, BC = 8 m et CT = 5 m. Les côtés adjacents du plancher sont perpendiculaires; la hauteur est perpendiculaire au plancher.

Étape 1 : utiliser le triangle du plancher ABC. Son angle droit est en B. Notons d = AC la diagonale du plancher. Avec les longueurs en mètres,

$$d^2=6^2+8^2=100,\qquad d=10\text{ m}.$$

Étape 2 : utiliser le triangle vertical ACT. Son angle droit est en C. La diagonale d est maintenant le côté horizontal; CT est le côté vertical. Notons L = AT la diagonale de la pièce :

$$L^2=10^2+5^2=125,\qquad L=5\sqrt 5\text{ m}\approx 11{,}2\text{ m}.$$

Étape 3 : indiquer l’angle avant de choisir un rapport. Notons θ = ∠CAT. Par rapport à θ, le côté opposé est CT = 5 m et le côté adjacent de l’angle droit est AC = 10 m. Donc,

$$\tan\theta=\frac 5{10},\qquad \theta=\arctan\left(\frac 12\right)\approx 26{,}6^\circ.$$

La distance est d’environ 11,2 m, et l’angle avec le plancher est d’environ 26,6°. La diagonale de la pièce dépasse bien la diagonale de 10 m du plancher. Puisque la hauteur est inférieure à la distance horizontale, l’angle est inférieur à 45°.

Écrire tan θ = 5/6 reviendrait à utiliser un côté de la pièce plutôt que la ligne directement sous AT. Ce côté et la hauteur de 5 m décrivent un autre triangle.

Exemple résolu 2 : retrouver un déplacement au sol

Un hauban droit et tendu de 13 m relie le sommet T d’un poteau vertical de 5 m à un point d’ancrage A sur un sol horizontal. Le pied du poteau est C. En vue de dessus, le déplacement de C vers A se décompose en deux déplacements perpendiculaires : 9,6 m vers l’est et une distance inconnue y vers le nord. Trouvez y et l’angle du hauban avec le sol. Négligez la courbure du câble et la longueur nécessaire aux attaches; le pied du poteau et l’ancrage sont au même niveau.

Commencer par le triangle vertical. Notons d = AC la distance horizontale directe entre le pied et l’ancrage. Le hauban est l’hypoténuse :

$$d^2+5^2=13^2,\qquad d=\sqrt{169-25}=12\text{ m}.$$

Revenir à la vue de dessus. Les déplacements vers l’est et vers le nord sont les côtés de l’angle droit; AC = 12 m est leur hypoténuse. Avec y en mètres,

$$9{,}6^2+y^2=12^2,\qquad y=\sqrt{144-92{,}16}=7{,}2\text{ m}.$$

Utiliser le triangle vertical pour l’angle d’élévation. Au point A, le hauban et le segment horizontal AC forment un angle θ. La hauteur vaut 5 m et la distance horizontale 12 m :

$$\theta=\arctan\left(\frac 5{12}\right)\approx 22{,}6^\circ.$$

Le déplacement vers le nord est de 7,2 m, et le hauban forme un angle d’environ 22,6° avec le sol. Vérifiez les deux triangles : 9,6² + 7,2² = 12² et 12² + 5² = 13². Additionner 9,6 et 7,2 donne la longueur d’un trajet en deux parties, pas la distance horizontale directe AC.

Quatre exercices progressifs

Dessinez les deux triangles séparément si la représentation dans l’espace vous semble difficile. Les indices et les solutions sont disponibles dès que vous en avez besoin.

1. Trouver d’abord la diagonale de la base. Une boîte rectangulaire a une base horizontale de 3 m sur 4 m et une hauteur verticale de 12 m. Trouvez la diagonale de la base, la diagonale de la boîte et l’angle que forme cette dernière avec la base.

2. Partir de la longueur oblique. Un segment droit relie un point A du sol à un point T situé au-dessus d’un plan horizontal. Sa longueur AT est de 17 m et sa projection horizontale AC mesure 15 m. Trouvez la hauteur verticale CT et l’angle entre AT et le plan.

3. Repérer le mauvais triangle. Dans la pièce de 6 m sur 8 m et de 5 m de hauteur du premier exemple, un élève calcule arctan(5/6) ≈ 39,8° pour l’angle de la diagonale de la pièce avec le plancher. Quelle distance horizontale faut-il utiliser? Que décrit plutôt le calcul de l’élève?

4. Appliquer la méthode à un câble. Un poteau est vertical sur un sol horizontal. Un point d’ancrage se trouve 9 m à l’est et 12 m au nord de son pied. Un câble droit et tendu relie l’ancrage au sommet et forme un angle de 40° avec le sol horizontal. Trouvez la hauteur du poteau et la longueur du câble en ligne droite. Le pied et l’ancrage sont au même niveau; négligez la courbure du câble et les longueurs nécessaires aux attaches.

Vérifier le modèle avant de calculer

Demandez-vous où se trouve chaque angle droit, quel segment est la projection horizontale et quel triangle contient l’angle indiqué. Un dessin en perspective peut faire paraître obliques des lignes perpendiculaires. Appuyez-vous sur la géométrie donnée et les indications, plutôt que sur l’apparence du dessin. Si les deux déplacements au sol ne sont pas perpendiculaires, n’y appliquez pas Pythagore; il faut une autre méthode de résolution de triangle.

Choisir la méthode avant de calculer

• Deux longueurs sont connues et une troisième manque : utilisez le théorème de Pythagore.
• Un angle aigu et une longueur sont connus : choisissez le sinus, le cosinus ou la tangente selon le côté connu et le côté cherché.
• Deux longueurs sont connues et un angle aigu manque : utilisez la fonction trigonométrique réciproque correspondante.

Les méthodes présentées ici exigent un triangle rectangle. Un dessin qui semble former un angle droit ne suffit pas : cherchez le symbole d’angle droit ou une indication explicite dans l’énoncé.

Si aucun angle droit n’est donné, poursuivez avec le choix de la loi des sinus ou des cosinus dans un triangle non rectangle.

Réessayer sans les exemples résolus

1. Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 8 cm et de 15 cm. Trouvez son hypoténuse, son périmètre et son aire.

   Vérifier votre réponse 1

   Hypoténuse $\sqrt{8^2+15^2}=17$ cm; périmètre $8+15+17=40$ cm; aire $(8)(15)/2=60$ cm².

2. Un triangle rectangle a une hypoténuse de 20 cm et un angle aigu de $30^\circ$. Trouvez le côté opposé.

   Vérifier votre réponse 2

   Côté opposé $20\sin30^\circ=10$ cm.

3. Par rapport à un angle aigu $\beta$, le côté opposé mesure 5 cm et le côté adjacent 12 cm. Trouvez $\beta$ au dixième de degré près.

   Vérifier votre réponse 3

   $\beta=\arctan(5/12)\approx22{,}6^\circ$. Utilisez le mode degrés et arrondissez seulement à la fin.

Avant de continuer, indiquez l’angle droit et l’hypoténuse sur un nouveau croquis. Expliquez pourquoi l’équation choisie utilise les mesures connues. Si isoler l’inconnue est l’étape difficile, revoyez comment isoler une variable dans une formule.

Pour les relations entre angles, les triangles semblables et les agrandissements, poursuivez avec Angles, similitude, aire et volume.

Pour utiliser Pythagore dans un plan cartésien, travaillez la distance entre deux points. Partez des variations horizontale et verticale, puis utilisez la distance, le point milieu et la pente pour trouver une médiatrice.

Besoin d’aide pour traduire l’énoncé en croquis ou identifier les côtés? En tutorat d’algèbre et de précalcul, votre tuteur peut construire le schéma avec vous, expliquer pourquoi un rapport convient et vous aider à vérifier un nouveau problème. Vous pouvez commencer par une question ou une notion difficile. Les séances sont actuellement offertes en anglais.