Graphiques du mouvement : de l’énoncé à l’équation

1. Fixer le sens positif et traduire les mots

On étudie un mobile sur une droite, dans un même repère pendant tout le problème. On choisit une origine $x=0$ et le sens positif vers la droite. Le temps $t$ est mesuré en secondes, la position $x$ en mètres, la vitesse algébrique $v$ en mètres par seconde et l’accélération $a$ en mètres par seconde carrée.

« À gauche de l’origine » : $x<0$ . Cela ne précise pas le sens du mouvement.
« Se déplace vers la gauche » : $v<0$ . La position diminue, même si elle est encore positive.
« Part du repos » : la vitesse initiale est nulle. L’accélération peut être non nulle.
« Vitesse constante sur une droite » : la vitesse algébrique ne change pas, donc $a=0$ sur cet intervalle.
« Ralentit » : la valeur absolue de la vitesse diminue. L’accélération est opposée à la vitesse, pas nécessairement négative.

Avant de chercher une formule, notez ce qui change et quand : départ, changement d’accélération, arrêt, demi-tour ou arrivée. Une durée commence au début de l’intervalle choisi, qui n’est pas forcément $t=0$ .

2. Lire la position : hauteur et pente

Sur un graphique position-temps, la hauteur donne la position à un instant. La pente donne la vitesse. Le tracé ne représente pas la forme de la route : un arc courbé peut décrire un déplacement sur une droite.

Pour un intervalle allant de $t_i$ à $t_f$ , les indices i et f désignent le début et la fin. Le déplacement est $\Delta x=x_f-x_i$ et la durée est $\Delta t=t_f-t_i$ . La vitesse moyenne est :

$v_{\mathrm{avg}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$

C’est la pente de la droite reliant les deux points. Pour estimer la vitesse à un instant sur une courbe lisse, tracez une tangente : une droite qui suit la direction de la courbe en ce point. Calculez sa pente à partir de deux points de la tangente. Cette vitesse instantanée peut différer de la vitesse moyenne sur l’intervalle initial.

Pente positive : le mobile se déplace vers la droite. Pente négative : il se déplace vers la gauche.
Segment horizontal : la position reste fixe; le mobile est au repos sur cet intervalle.
Tangente horizontale en un seul point : vitesse nulle à cet instant; cela ne prouve pas un repos prolongé.
Pente dont la valeur absolue augmente : la rapidité augmente. La courbe peut monter ou descendre.

La distance parcourue additionne les longueurs de tous les trajets. Le déplacement compare seulement les positions finale et initiale. Un aller-retour a une distance positive et peut avoir un déplacement nul.

3. Lire la vitesse et l’accélération : pente et aire

Sur un graphique vitesse-temps, la hauteur est la vitesse algébrique; sa valeur absolue $|v|$ est la rapidité. La pente est l’accélération. Sur une portion rectiligne :

$a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}$

L’accélération moyenne sur un intervalle de durée positive est $a_{\mathrm{avg}}=(v_f-v_i)/\Delta t$ , en $\mathrm{m/s^2}$ . Elle correspond à la pente de la droite reliant les extrémités de l’intervalle sur le graphique vitesse-temps. Ce rapport reste valable lorsque l’accélération varie pendant l’intervalle; il n’est pas nécessairement égal à l’accélération à chaque instant.

Un segment horizontal à $v=2\,\mathrm{m/s}$ représente donc un déplacement à vitesse constante, et non le repos. Une droite descendante a une accélération négative, même lorsqu’elle est au-dessus de l’axe du temps.

Aire algébrique sous $v(t)$ : elle donne $\Delta x$ . Une région au-dessus de zéro contribue positivement; une région en dessous contribue négativement. Les unités sont $(\mathrm{m/s})\,\mathrm s=\mathrm m$ .
Distance : additionnez les valeurs absolues des aires séparées par les passages de la vitesse par zéro. C’est l’aire sous la rapidité $|v|$ .
Aire algébrique sous $a(t)$ : elle donne la variation de vitesse $\Delta v=v_f-v_i$ , en $\mathrm{m/s}$ . Ajoutez cette variation à $v_i$ pour obtenir $v_f$ .

Les aires ne donnent pas les valeurs initiales. Un graphique de vitesse seul détermine les déplacements, mais pas la position absolue sans $x_i$ . Un graphique d’accélération seul ne détermine pas la vitesse sans $v_i$ .

4. Construire trois graphiques pour un même trajet

Énoncé. Un chariot part de $x=0$ . Il roule vers la droite à $2\,\mathrm{m/s}$ pendant $3\,\mathrm s$ . De $t=3\,\mathrm s$ à $t=7\,\mathrm s$ , son accélération est constante et vaut $-1\,\mathrm{m/s^2}$ . Elle reste la même lorsque le chariot passe par une vitesse nulle.

Découper l’énoncé avant de calculer

De 0 à 3 s : la vitesse est constante. L’accélération est nulle et la position augmente linéairement. Le rectangle sous la vitesse donne $\Delta x=2\times3=6\,\mathrm m$ . Donc $x(3)=6\,\mathrm m$ .
De 3 à 5 s : la vitesse diminue de $1\,\mathrm{m/s}$ chaque seconde. Il faut deux secondes pour passer de $2\,\mathrm{m/s}$ à zéro. Le chariot avance encore, mais ralentit.
De 5 à 7 s : la vitesse devient négative et atteint $-2\,\mathrm{m/s}$ . Le chariot se déplace vers la gauche et sa rapidité augmente. L’accélération n’a pas changé à 5 s.

Vitesse en fonction du temps : 2 m/s de 0 à 3 s, puis droite de (3 s, 2 m/s) à (7 s, −2 m/s), passant par zéro à 5 s. Aires algébriques successives : +6 m, +2 m, −2 m. — Le rectangle et les deux triangles donnent les déplacements. Chaque triangle a une base de 2 s et une hauteur de 2 m/s, soit une aire de valeur absolue 2 m.

Le déplacement total et la distance totale sont donc :

$\Delta x=6+2-2=6\,\mathrm m$

$D=6+2+2=10\,\mathrm m$

Ici $D$ désigne la distance parcourue. La position atteint $8\,\mathrm m$ à 5 s, puis revient à $6\,\mathrm m$ à 7 s. Le chariot revient à sa position de 3 s, pas à l’origine.

Position en fonction du temps : segment de (0 s, 0 m) à (3 s, 6 m), puis parabole concave vers le bas passant par (5 s, 8 m) et (7 s, 6 m). Tangente horizontale à 5 s. — De 3 à 5 s, la position augmente avec une pente de plus en plus faible. De 5 à 7 s, elle diminue avec une pente de plus en plus négative. La courbe est concave vers le bas sur toute la seconde phase.

Accélération en fonction du temps : 0 m/s² avant 3 s et −1 m/s² après 3 s, jusqu’à 7 s. Deux cercles ouverts à 3 s indiquent que la valeur instantanée au changement n’est pas définie dans ce modèle. — L’aire algébrique sous le graphique accélération-temps de 3 à 7 s vaut −4 m/s : la vitesse passe de +2 à −2 m/s. Le saut idéalisé à 3 s ne produit aucun saut de position ou de vitesse. L’accélération exacte à cet instant n’est pas définie.

À $t=5\,\mathrm s$ , $v=0$ mais $a=-1\,\mathrm{m/s^2}$ . La hauteur du graphique de vitesse est nulle, tandis que sa pente reste négative. Le changement de signe de la vitesse prouve le demi-tour; une vitesse nulle, à elle seule, ne suffit pas.

Voir les fonctions utilisées pour tracer les courbes

Pour reproduire ces tracés numériques, entrez $t$ en secondes; les formules retournent $x$ en mètres et $v$ en mètres par seconde. Pour $0\le t\le3$ :

$x=2t$

$v=2$

Pour $3\le t\le7$ , posez $\tau=t-3$ , la durée en secondes depuis le changement :

$x=6+2\tau-\frac12\tau^2$

$v=2-\tau$

Les deux expressions de position et de vitesse se raccordent à 3 s. Ces fonctions ne décrivent pas le mouvement après 7 s.

5. Choisir une équation sur un intervalle valable

Les quatre relations ci-dessous supposent une accélération constante sur l’intervalle choisi. Elles acceptent $a=0$ . Dans notre trajet, séparez 0–3 s de 3–7 s. Aucun nouveau découpage n’est nécessaire à 5 s pour ces équations, car l’accélération y reste constante; le découpage à 5 s sert au calcul de distance.

Pour chaque intervalle, relevez $v_i$ , $v_f$ , $a$ , $\Delta t$ et $\Delta x$ . Marquez les données et l’inconnue recherchée. Choisissez de préférence une relation qui ne contient qu’une inconnue.

Sans utiliser le déplacement

$v_f=v_i+a\Delta t$

Relie les vitesses, l’accélération et la durée. Utile pour trouver le moment où la vitesse s’annule.

Sans utiliser la vitesse finale

$\Delta x=v_i\Delta t+\frac12a\Delta t^2$

Donne le déplacement à partir de la vitesse initiale, de l’accélération et de la durée.

Sans utiliser la durée écoulée

$v_f^2=v_i^2+2a\Delta x$

Relie les vitesses au déplacement. Le carré ne conserve pas le signe : choisissez le sens de la vitesse à partir du mouvement.

Sans utiliser explicitement l’accélération

$\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t$

Donne l’aire algébrique sous une droite de vitesse. La moyenne des vitesses aux extrémités n’est pas une méthode générale lorsque l’accélération varie.

Le fait que les données ne mentionnent pas l’accélération ne la rend pas constante. Si le graphique de vitesse est courbé ou si l’accélération change, utilisez les aires disponibles, découpez en phases justifiées ou employez un modèle d’accélération variable. Ne remplacez pas simplement $a$ par sa moyenne dans toutes les équations.

6. Résoudre un arrêt sans prolonger le freinage

Un chariot avance à $12\,\mathrm{m/s}$ et freine avec une accélération constante de $-3\,\mathrm{m/s^2}$ jusqu’à l’arrêt. Il reste ensuite immobile. Quelle distance parcourt-il pendant le freinage?

Choisir, calculer, vérifier

On prend le sens initial comme positif. On connaît $v_i=12\,\mathrm{m/s}$ , $v_f=0$ et $a=-3\,\mathrm{m/s^2}$ . La durée est inconnue et inutile pour trouver le déplacement : choisissons la relation sans durée.

$\Delta x=\frac{v_f^2-v_i^2}{2a}$

$\Delta x=24\,\mathrm m$

Le numérateur et le dénominateur sont tous deux négatifs; le déplacement est donc positif. Comme le chariot ne change pas de sens avant l’arrêt, la distance vaut aussi 24 m.

Vérifions avec le temps d’arrêt et l’aire triangulaire sous la vitesse :

$\Delta t=\frac{v_f-v_i}{a}=4\,\mathrm s$

$D=\frac12(4)(12)=24\,\mathrm m$

Après ces 4 s, l’énoncé impose le repos : $v=0$ et $a=0$ . Prolonger le freinage à −3 m/s² ferait repartir le chariot en sens inverse et décrirait un autre mouvement.

7. Essayer six questions progressives

Essayez chaque question avant d’ouvrir l’indice. Dans vos schémas, nommez les axes et les unités, indiquez les instants importants et justifiez chaque changement de phase.

1. Une position négative signifie-t-elle un mouvement vers la gauche?

Un graphique position-temps est une droite de $(0\,\mathrm s,-4\,\mathrm m)$ à $(3\,\mathrm s,2\,\mathrm m)$ . Trouvez la vitesse, l’accélération, le déplacement et la distance.

Voir un indice

La pente utilise une différence de positions; une droite a une pente constante.

Voir la solution expliquée

La position augmente : le mobile se déplace vers la droite, même lorsqu’il est à gauche de l’origine.

$\Delta x=2-(-4)=6\,\mathrm m$

$v=6/3=2\,\mathrm{m/s}$

La vitesse est constante, donc $a=0$ . Il n’y a aucun demi-tour : $D=6\,\mathrm m$ . Le graphique de vitesse est horizontal à +2 m/s; celui d’accélération est horizontal à zéro.

2. Traverser zéro sur un graphique de vitesse

La vitesse augmente linéairement de $-3\,\mathrm{m/s}$ à $+1\,\mathrm{m/s}$ en 4 s, à partir de $t=0$ . Trouvez l’accélération, l’instant du demi-tour, le déplacement et la distance. Décrivez le graphique de position.

Voir un indice

La vitesse s’annule avant la fin. Séparez les deux triangles pour calculer la distance.

Voir la solution expliquée

$a=\frac{1-(-3)}{4}=1\,\mathrm{m/s^2}$

Il faut 3 s pour passer de −3 m/s à zéro. Avant cet instant, le mobile va vers la gauche en ralentissant; ensuite, il va vers la droite et sa rapidité augmente.

Le triangle négatif a une aire de −4,5 m et le triangle positif une aire de +0,5 m.

$\Delta x=-4.5+0.5=-4\,\mathrm m$

$D=4.5+0.5=5\,\mathrm m$

La position décrit une parabole concave vers le haut, avec un minimum à 3 s. Sa hauteur absolue reste inconnue sans position initiale. Le déplacement négatif est compatible avec une vitesse finale positive.

3. Atteindre deux fois la même position

Reprenez le chariot de la section 4. À quels instants se trouve-t-il à $x=7.5\,\mathrm m$ ? Quelle est sa vitesse à chacun de ces instants?

Voir un indice

La position dépasse 6 m uniquement dans la seconde phase. Utilisez la durée depuis 3 s et conservez les deux racines si elles appartiennent à cette phase.

Voir la solution expliquée

Dans la formule numérique du graphique, $\tau=t-3$ est en secondes. L’équation devient :

$7.5=6+2\tau-\frac12\tau^2$

$\tau^2-4\tau+3=0$

$(\tau-1)(\tau-3)=0$

Les durées de 1 s et 3 s appartiennent toutes deux à la phase de 4 s. Elles donnent $t=4\,\mathrm s$ et $t=6\,\mathrm s$ . Avec $v=2-\tau$ , les vitesses sont respectivement $+1\,\mathrm{m/s}$ et $-1\,\mathrm{m/s}$ . Le chariot passe par le même endroit à l’aller et au retour. Écarter automatiquement la seconde racine ferait perdre un événement réel.

4. Changer de modèle après l’arrêt

Un mobile avance à 8 m/s, freine uniformément à −2 m/s² jusqu’à l’arrêt, puis reste au repos pendant 3 s. Trouvez la distance totale, la durée totale et la vitesse moyenne sur tout le mouvement.

Voir un indice

Calculez d’abord la durée du freinage. La phase au repos augmente la durée totale sans augmenter le déplacement.

Voir la solution expliquée

$\Delta t_{\mathrm b}=\frac{0-8}{-2}=4\,\mathrm s$

L’indice b désigne ici le freinage. Le triangle sous la vitesse a une base de 4 s et une hauteur de 8 m/s :

$\Delta x=\frac12(4)(8)=16\,\mathrm m$

Le mobile ne repart pas en sens inverse. Donc $D=16\,\mathrm m$ et la durée totale vaut $7\,\mathrm s$ .

$v_{\mathrm{avg}}=\frac{16}{7}\,\mathrm{m/s}$

Cela vaut environ 2,29 m/s. Le graphique de vitesse descend jusqu’à zéro à 4 s, puis reste sur zéro jusqu’à 7 s. Celui de position augmente, s’aplatit à l’arrêt, puis reste horizontal. La moyenne des vitesses initiale et finale, 4 m/s, ne s’applique pas à l’ensemble : l’accélération change à l’arrêt.

5. Mêmes vitesses aux extrémités, même déplacement?

Deux mobiles partent du repos à la même position. A accélère uniformément et atteint 8 m/s à 4 s. B reste au repos pendant 2 s, puis accélère uniformément et atteint aussi 8 m/s à 4 s. Comparez leurs accélérations moyennes et leurs déplacements de 0 à 4 s.

Voir un indice

La variation de vitesse est la même. Les triangles sous les graphiques de vitesse ont-ils la même base?

Voir la solution expliquée

Les deux accélérations moyennes valent $8/4=2\,\mathrm{m/s^2}$ . Pour A, cette accélération est constante. Pour B, elle vaut zéro pendant 2 s, puis $4\,\mathrm{m/s^2}$ pendant 2 s.

$\Delta x_A=\frac12(4)(8)=16\,\mathrm m$

$\Delta x_B=\frac12(2)(8)=8\,\mathrm m$

L’accélération moyenne fixe la variation totale de vitesse, pas la manière dont cette variation se répartit dans le temps. Utiliser une accélération constante de 2 m/s² pour B donnerait un déplacement erroné. Le retard au départ réduit l’aire sous sa vitesse.

6. Relier un délai et un freinage

Un chariot d’essai avance à 20 m/s. Après un signal, son contrôleur maintient cette vitesse pendant 0,8 s, puis impose une accélération de −5 m/s² jusqu’à l’arrêt. Un repère est situé 60 m devant la position du chariot au signal. Le chariot s’arrête-t-il avant ce repère? Combien de temps après le signal?

Voir un indice

Il y a deux phases. Le freinage commence à une nouvelle position, mais avec la même vitesse que pendant le délai.

Voir la solution expliquée

Choisissons l’origine à la position au signal et le sens initial comme positif. Pendant le délai, $a=0$ et la vitesse reste à 20 m/s :

$\Delta x_1=20(0.8)=16\,\mathrm m$

Pour le freinage, $v_i=20\,\mathrm{m/s}$ et $v_f=0$ . La relation sans durée donne le déplacement de cette phase :

$\Delta x_2=\frac{0^2-20^2}{2(-5)}$

$\Delta x_2=40\,\mathrm m$

Les indices 1 et 2 désignent le délai et le freinage. Le déplacement total est $16+40=56\,\mathrm m$ . Il n’y a pas de demi-tour : c’est aussi la distance. Le chariot s’arrête 4 m avant le repère.

$\Delta t_2=\frac{0-20}{-5}=4\,\mathrm s$

$\Delta t=0.8+4=4.8\,\mathrm s$

Sur le graphique de vitesse, un rectangle de base 0,8 s précède un triangle de base 4 s. Une seule accélération constante sur les 4,8 s ne représente pas ce mouvement.

Complément facultatif : vitesse relative et traversée d’une rivière

Prévoyez 20 à 25 minutes. La leçon principale sur les graphiques reste autonome. Ce complément demande les composantes algébriques, le théorème de Pythagore et les fonctions trigonométriques réciproques en mode degrés. Au besoin, revoyez les composantes et la direction d’un vecteur : cette leçon emploie des forces, mais l’addition par composantes convient aussi aux vitesses.

Nommer l’objet et l’observateur

Un référentiel comprend une origine, des axes et une horloge servant à mesurer le mouvement. Une personne assise peut être immobile dans le référentiel du train et en mouvement dans celui du sol. Il faut préciser l’observateur pour interpréter la vitesse. Ici, tous les axes restent parallèles et ne tournent pas; les référentiels se déplacent à vitesse constante les uns par rapport aux autres, et les vitesses sont très inférieures à celle de la lumière. On utilise l’addition ordinaire, ou galiléenne, des vitesses.

On écrit $\mathbf v_{A/B}$ pour la vitesse de l’objet A par rapport à l’observateur B. La barre signifie « par rapport à », pas une division. G désigne le sol. Choisissez x positif vers l’est et y positif vers le nord; les composantes sont données dans l’ordre $(v_x,v_y)$ , en m/s. Un symbole gras représente un vecteur; $|\mathbf v|$ est sa grandeur, toujours non négative.

\mathbf v_{A/G}=\mathbf v_{A/B}+\mathbf v_{B/G}

\mathbf v_{A/B}=\mathbf v_{A/G}-\mathbf v_{B/G}

Soustrayez la vitesse de l’observateur de celle de l’objet, composante par composante. Inverser l’objet et l’observateur inverse le vecteur :

\mathbf v_{B/A}=-\mathbf v_{A/B}.

Cette relation découle de la différence entre leurs positions au sol au même instant : la variation de la position de A par rapport à B égale la variation de la position de A au sol moins celle de B. Dans un diagramme bout à bout, tracez la vitesse de l’objet au sol, puis l’opposé de la vitesse de l’observateur au sol. La résultante relie le point de départ à la pointe finale. Un triangle des vitesses ne représente pas les positions des objets.

Exemple résolu 1 : que mesure un observateur en mouvement?

Sur des trajets distincts, A patine vers l’est à 6 m/s et B vers le nord à 8 m/s, dans les deux cas par rapport au sol. Leurs vitesses sont constantes. Trouvez la vitesse de A par rapport à B, puis celle de B par rapport à A.

\begin{aligned}\mathbf v_{A/G}&=(6,0)\,\mathrm{m/s},\\\mathbf v_{B/G}&=(0,8)\,\mathrm{m/s},\\\mathbf v_{A/B}&=(6,0)-(0,8)\\&=(6,-8)\,\mathrm{m/s}.\end{aligned}

Pour B, A se déplace vers l’est et le sud. La grandeur de la vitesse relative et l’angle aigu au sud de l’est valent :

\begin{aligned}|\mathbf v_{A/B}|&=\sqrt{6^2+(-8)^2}=10\,\mathrm{m/s},\\\alpha&=\arctan(8/6)\approx53{,}13^\circ.\end{aligned}

La réponse est 10 m/s, à 53,13° au sud de l’est. La vitesse de B par rapport à A est :

\mathbf v_{B/A}=(-6,8)\,\mathrm{m/s}.

Elle a la même grandeur et pointe à 53,13° au nord de l’ouest. Vérification : ajouter la vitesse de B au sol à la vitesse relative de A donne $(6,-8)+(0,8)=(6,0)\,\mathrm{m/s}$ . Soustraire les grandeurs, 6 − 8, ferait perdre leurs directions perpendiculaires. Ces seules vitesses ne permettent pas de savoir si les deux personnes se rencontrent : il faut aussi leurs positions initiales.

Exemple résolu 2 : traverser au plus vite ou arriver juste en face?

Une rivière rectiligne a une largeur de 120 m de la rive sud à la rive nord. Son courant uniforme va vers l’est à 3 m/s par rapport à la rive. Un bateau maintient une vitesse de 5 m/s par rapport à l’eau. Négligez le démarrage et l’accostage. Gardez chaque cap choisi constant. B désigne le bateau, W l’eau et G la rive, assimilée au référentiel du sol.

\mathbf v_{B/G}=\mathbf v_{B/W}+\mathbf v_{W/G}

Le courant n’a aucune composante vers le nord. Le temps de traversée utilise donc la composante vers le nord par rapport à la rive, pas la grandeur totale de la vitesse à la rive. Soit d la largeur et $v_{B/G,y}>0$ cette composante :

t=\frac{d}{v_{B/G,y}}.

A. Atteindre n’importe quel point de la rive opposée au plus vite

Supposez que tout point d’arrivée en aval est permis. Orientez le bateau plein nord par rapport à l’eau. Les 5 m/s servent alors entièrement à traverser; un cap oblique donnerait une composante vers le nord plus petite.

\begin{aligned}\mathbf v_{B/W}&=(0,5)\,\mathrm{m/s},\\\mathbf v_{W/G}&=(3,0)\,\mathrm{m/s},\\\mathbf v_{B/G}&=(3,5)\,\mathrm{m/s}.\end{aligned}

\begin{aligned}t_{\min}&=120/5=24\,\mathrm s,\\\Delta x&=3(24)=72\,\mathrm m.\end{aligned}

Le bateau arrive 72 m en aval du point situé juste en face. Sa vitesse à la rive a pour grandeur $\sqrt{34}\,\mathrm{m/s}\approx5{,}83\,\mathrm{m/s}$ , et sa trajectoire fait $\arctan(3/5)\approx30{,}96^\circ$ à l’est du nord. Le cap est plein nord; la trajectoire par rapport à la rive dévie vers l’aval. Diviser 120 m par 5,83 m/s mélangerait une largeur perpendiculaire et une vitesse diagonale.

B. Arriver juste en face du point de départ

Exigez maintenant une composante est nulle par rapport à la rive. Le bateau doit fournir une composante x de −3 m/s par rapport à l’eau (vers l’ouest) pour annuler le courant. Sa vitesse totale par rapport à l’eau doit toujours avoir une grandeur de 5 m/s.

\begin{aligned}v_{B/W,x}&=-3\,\mathrm{m/s},\\v_{B/W,y}&=\sqrt{5^2-3^2}=4\,\mathrm{m/s},\\\mathbf v_{B/G}&=(-3,4)+(3,0)\\&=(0,4)\,\mathrm{m/s}.\end{aligned}

L’angle du cap vers l’amont, mesuré à l’ouest du nord, et le temps de traversée valent :

\begin{aligned}\theta&=\arcsin(3/5)\approx36{,}87^\circ,\\t&=120/4=30\,\mathrm s.\end{aligned}

Vérification : $\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\,\mathrm{m/s}$ , et les composantes est s’annulent. Arriver juste en face demande 6 s de plus que rejoindre la rive n’importe où.

Deux triangles des vitesses utilisent 30 unités de dessin par mètre par seconde. Pour traverser au plus vite, bateau par rapport à l’eau (0, 5) plus courant (3, 0) donne vitesse à la rive (3, 5). Pour arriver juste en face, bateau par rapport à l’eau (−3, 4) plus courant (3, 0) donne vitesse à la rive (0, 4). — Les deux triangles des vitesses ont la même échelle. Les flèches pleines s’ajoutent bout à bout; la flèche en tirets représente la vitesse à la rive. Il s’agit de vitesses, pas de distances de traversée.

Vérifier la possibilité physique avant l’arcsinus

Pour une rivière de largeur d, une vitesse du bateau de grandeur u par rapport à l’eau et un courant de grandeur c parallèle à la rive, supposez $d>0$ , $u>0$ et $c\ge0$ . Si l’arrivée en aval est libre, la traversée la plus rapide dure $t_{\min}=d/u$ , avec une dérive de $cd/u$ . Pour arriver juste en face, la composante vers l’amont doit avoir une grandeur c :

\sin\theta=\frac{c}{u},\qquad v_{B/G,y}=\sqrt{u^2-c^2}.

Si $c<u$ : une traversée juste en face en temps fini est possible, avec $t=d/\sqrt{u^2-c^2}$ .
Si $c=u$ : annuler le courant utilise toute la vitesse du bateau. Il pointe directement vers l’amont, sa vitesse à la rive est nulle et il ne progresse pas vers l’autre rive. Aucune traversée juste en face en temps fini n’est possible.
Si $c>u$ : le bateau ne peut pas annuler le courant; l’arcsinus de c/u n’a pas de valeur réelle. Arriver juste en face est impossible dans ce modèle.

Un courant fort n’empêche pas toute traversée dans ce modèle idéal : pointer vers le nord donne encore une composante nord positive tout en dérivant vers l’aval. Une vraie rivière peut présenter des dangers ou des rives inaccessibles; ces équations sont un modèle scolaire, pas des conseils de navigation.

Essayer quatre exercices de difficulté croissante

Écrivez explicitement les référentiels. Toutes les vitesses données et tous les courants restent constants. Essayez chaque exercice avant d’ouvrir l’indice et la solution expliquée.

1. Garder le signe en une dimension

Un train T va vers l’est à 18 m/s par rapport au sol G. La personne P marche vers l’ouest à 1,5 m/s par rapport au train. Trouvez sa vitesse au sol et la vitesse du sol par rapport à cette personne.

Voir l’indice 1

Prenez l’est comme sens positif. La vitesse de marche est négative dans le référentiel du train. Additionnez les vitesses avec le référentiel commun T au milieu.

Voir la solution expliquée 1

\begin{aligned}v_{P/G}&=v_{P/T}+v_{T/G}\\&=-1{,}5+18=16{,}5\,\mathrm{m/s},\\v_{G/P}&=-16{,}5\,\mathrm{m/s}.\end{aligned}

La personne avance vers l’est par rapport au sol à 16,5 m/s, même si elle marche vers l’ouest dans le train. Pour elle, le sol se déplace vers l’ouest à 16,5 m/s. Vérification : $16{,}5-18=-1{,}5\,\mathrm{m/s}$ redonne la vitesse de marche indiquée.

2. Soustraire deux paires de composantes

Le cycliste A a une vitesse au sol de (4, 3) m/s et le cycliste B de (−2, 1) m/s. Trouvez la vitesse de A par rapport à B : composantes, grandeur et direction. Inversez ensuite l’observateur.

Voir l’indice 2

Soustrayez séparément les composantes x et y de B. Prévoyez le quadrant avant d’utiliser l’arctangente.

Voir la solution expliquée 2

\begin{aligned}\mathbf v_{A/B}&=(4,3)-(-2,1)\\&=(6,2)\,\mathrm{m/s},\\|\mathbf v_{A/B}|&=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}\,\mathrm{m/s}\\&\approx6{,}32\,\mathrm{m/s},\\\alpha&=\arctan(2/6)\approx18{,}43^\circ.\end{aligned}

A se déplace à 18,43° au nord de l’est par rapport à B. Inverser l’observateur donne $\mathbf v_{B/A}=(-6,-2)\,\mathrm{m/s}$ , de même grandeur à 18,43° au sud de l’ouest. Vérification : $(6,2)+(-2,1)=(4,3)\,\mathrm{m/s}$ . La grandeur de la vitesse relative ne détermine pas à elle seule un instant de rencontre sans les positions initiales.

3. Trouver la traversée la plus rapide et le point d’arrivée

Un bateau traverse une rivière de 80 m de largeur de la rive sud à la rive nord. Le courant va vers l’est à 3 m/s. La vitesse du bateau par rapport à l’eau a une grandeur de 4 m/s. Tout point d’arrivée sur la rive opposée est permis. Trouvez le cap le plus rapide, le temps de traversée, la dérive, la grandeur de la vitesse à la rive et la direction de la trajectoire.

Voir l’indice 3

Maximisez la composante vers le nord. Multipliez la vitesse du courant par le temps de traversée pour obtenir le déplacement en aval.

Voir la solution expliquée 3

\begin{aligned}\mathbf v_{B/W}&=(0,4)\,\mathrm{m/s},\\\mathbf v_{B/G}&=(0,4)+(3,0)\\&=(3,4)\,\mathrm{m/s},\\t_{\min}&=80/4=20\,\mathrm s,\\\Delta x&=3(20)=60\,\mathrm m,\\|\mathbf v_{B/G}|&=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{m/s}.\end{aligned}

Gardez le cap plein nord par rapport à l’eau. La trajectoire à la rive fait $\arctan(3/4)\approx36{,}87^\circ$ à l’est du nord, et le bateau arrive 60 m en aval. Vérification : le déplacement est (60, 80) m, de longueur 100 m; $100/5=20\,\mathrm s$ . Le calcul $80/5=16\,\mathrm s$ utiliserait à tort la largeur comme distance diagonale.

4. Tester l’arrivée juste en face et ses limites

Un bateau traverse une rivière de 60 m de largeur de la rive sud à la rive nord. Le courant va vers l’est; le bateau maintient 2 m/s par rapport à l’eau. Peut-il arriver juste en face si le courant vaut (a) 1,2 m/s, (b) 2 m/s ou (c) 2,5 m/s? Pour (a), trouvez le cap et le temps. Pour (c), expliquez si une arrivée en aval reste possible.

Voir l’indice 4

Comparez d’abord la grandeur du courant et celle de la vitesse du bateau. Pour arriver juste en face, annulez le courant et vérifiez qu’il reste une composante nord strictement positive.

Voir la solution expliquée 4

(a) Puisque 1,2 est inférieur à 2, annulez le courant par une composante x de −1,2 m/s par rapport à l’eau (vers l’ouest) :

\begin{aligned}v_{B/W,y}&=\sqrt{2^2-1{,}2^2}=1{,}6\,\mathrm{m/s},\\\mathbf v_{B/G}&=(-1{,}2,1{,}6)+(1{,}2,0)\\&=(0,1{,}6)\,\mathrm{m/s},\\\theta&=\arcsin(1{,}2/2)\approx36{,}87^\circ,\\t&=60/1{,}6=37{,}5\,\mathrm s.\end{aligned}

Prenez un cap de 36,87° à l’ouest du nord. Vérification : $\sqrt{1{,}2^2+1{,}6^2}=2\,\mathrm{m/s}$ .

(b) Une composante x de −2 m/s (vers l’ouest) laisse une composante nord nulle. La vitesse à la rive est nulle quand le courant est annulé. Un cap à 90° vers l’amont ne fait pas traverser le bateau; aucun temps de traversée fini n’existe.

(c) La composante x requise de −2,5 m/s (vers l’ouest) dépasse la grandeur totale de la vitesse du bateau par rapport à l’eau. Arriver juste en face est impossible. Cependant, un cap plein nord donne :

\begin{aligned}\mathbf v_{B/G}&=(2{,}5,2)\,\mathrm{m/s},\\t&=60/2=30\,\mathrm s,\\\Delta x&=2{,}5(30)=75\,\mathrm m.\end{aligned}

Il peut atteindre un point situé 75 m en aval dans ce modèle idéal si cette arrivée est permise. C’est la cible juste en face qui est impossible, pas le mouvement vers le nord.

Garder les modèles et les liens aux cours précis

Avant de résoudre, nommez les deux référentiels, choisissez des axes communs, écrivez l’équation vectorielle et précisez la contrainte d’arrivée. Vérifiez la composante qui détermine le temps de traversée et la possibilité physique du cap. Le cas de la personne qui marche dans un bateau libre de bouger est différent : le mouvement inconnu du bateau découle d’un bilan du système. Ici, la vitesse du bateau par rapport à l’eau et le courant sont donnés.

Le mouvement relatif et les vecteurs en deux dimensions correspondent directement à l’attente B2.2 du cours ontarien SPH4U, page imprimée 198, document anglais. Ce lien porte sur une notion et ne couvre pas tout le cours. Les liens universitaires ailleurs dans cette leçon établissent des liens plus généraux avec la cinématique; ils ne vérifient pas à eux seuls que chaque cours évalue les traversées de rivière. Consultez votre plan de cours. Voir aussi OpenStax, Relative Motion in One and Two Dimensions, en anglais pour la convention des référentiels. Les exemples, données, diagrammes et exercices présentés ici sont originaux.

Prolongement facultatif en calcul : une même expression, une autre grandeur

Préalables : dérivation des polynômes et intégrales définies. Si votre cours aborde les graphiques du mouvement par l’algèbre seulement, vous pouvez utiliser les six questions précédentes seules.

Le sens vers la droite est positif. La variable $t$ est la valeur numérique du temps en secondes, avec $0\le t\le6$ . Il s’agit de deux situations indépendantes. La position situe le chariot; le déplacement est la position finale moins la position initiale. La distance additionne les longueurs parcourues, quel que soit le sens.

Chariot A : l’expression donne la vitesse

La vitesse $v(t)$ est en m/s et la position $x(t)$ , en mètres :

$v(t)=5-0{,}4t+0{,}1t^2$

Au départ, $x(0)=-2\,\mathrm m$ . Trouvez l’accélération $a(2)$ , la position $x(6)$ et la distance totale de 0 à 6 s. Le chariot est-il au repos lorsque l’accélération est nulle? Écrivez et justifiez chaque dérivée ou intégrale définie; un résultat numérique seul ne suffit pas.

Voir un indice pour le chariot A

Dérivez la vitesse pour trouver l’accélération. Intégrez la vitesse pour obtenir le déplacement, puis ajoutez la position initiale. Vérifiez le signe de la vitesse avant de calculer la distance.

Voir la solution expliquée du chariot A

L’accélération $a(t)=v'(t)$ , en m/s², vaut :

$a(t)=-0{,}4+0{,}2t$

Donc $a(2)=0\,\mathrm{m/s^2}$ , mais $v(2)=4{,}6\,\mathrm{m/s}$ : le chariot avance vers la droite. L’accélération varie; les formules à accélération constante ne s’appliquent pas à tout l’intervalle.

L’aire algébrique sous la vitesse donne le déplacement :

$\Delta x=\int_0^6 v(t)\,dt$

$\Delta x=\left[5t-0{,}2t^2+\frac{t^3}{30}\right]_0^6$

$\Delta x=30\,\mathrm m$

Ainsi, $x(6)=-2+30=28\,\mathrm m$ . Sur tout l’intervalle,

$v(t)=0{,}1(t-2)^2+4{,}6>0$

donc le chariot ne change pas de sens et la distance vaut aussi 30 m. Utiliser la valeur constante $v(0)=5\,\mathrm{m/s}$ pendant six secondes donne aussi 30 m par coïncidence, mais traite à tort la vitesse variable comme constante.

Nouvel essai indépendant, chariot B : l’expression donne la position

Le même polynôme donne maintenant la position $p(t)$ , en mètres :

$p(t)=5-0{,}4t+0{,}1t^2$

Ce chariot part de $p(0)=5\,\mathrm m$ . Trouvez sa vitesse et son accélération à 2 s, puis son déplacement et sa distance parcourue de 0 à 6 s. Justifiez les opérations choisies.

Voir un indice pour le chariot B

Dérivez la position une fois pour la vitesse et deux fois pour l’accélération. Vérifiez si la vitesse change de signe avant d’additionner les longueurs parcourues.

Voir la solution expliquée du chariot B

La vitesse est $p'(t)=-0{,}4+0{,}2t$ , en m/s; l’accélération est $p''(t)=0{,}2$ , en m/s². Ainsi, $p'(2)=0\,\mathrm{m/s}$ et $p''(2)=0{,}2\,\mathrm{m/s^2}$ .

La vitesse passe de négative à positive à 2 s. Les positions à 0, 2 et 6 s valent 5, 4,6 et 6,2 m. Le déplacement est de $6{,}2-5=1{,}2\,\mathrm m$ ; la distance vaut $0{,}4+1{,}6=2{,}0\,\mathrm m$ . Ici, la fonction donnée est la position : son sens et ses unités changent l’opération à effectuer.

8. Vérifier rapidement le modèle et le résultat

Repère : le signe de chaque donnée correspond-il au sens positif choisi?
Intervalle : l’accélération est-elle constante sur toute la phase utilisée? La durée part-elle du bon instant?
Graphiques : la pente de la position correspond-elle à la vitesse? La pente de la vitesse correspond-elle à l’accélération?
Aires : avez-vous additionné les aires algébriques pour le déplacement et leurs valeurs absolues pour la distance?
Événements : un arrêt dure-t-il, ou la vitesse change-t-elle de signe? Chaque racine trouvée appartient-elle à la phase du modèle?
Unités et sens : le résultat a-t-il les bonnes unités? Une distance ne peut pas être inférieure à la valeur absolue du déplacement.

Pour gagner du temps, écrivez d’abord une courte ligne par phase : durée, vitesse initiale, accélération et inconnue. Ce travail évite de choisir une formule avec les données de deux phases différentes.

Lorsque la difficulté consiste à trouver l’accélération à partir des interactions, poursuivez avec les diagrammes de forces et le frottement. Pour choisir entre d’autres bilans mécaniques, consultez travail, énergie et quantité de mouvement.

9. Sources et lien avec le cours

Les descriptions officielles de PHYS 204 à Concordia et de PHYS 101 à McGill mentionnent la cinématique. Ces liens situent le thème; ils ne rendent pas les cours équivalents et ne signifient pas que cette leçon couvre tout leur contenu. Les explications, données, figures et exercices ont été créés pour cette ressource.

Graphiques du mouvement : de l’énoncé à l’équation

1. Fixer le sens positif et traduire les mots

2. Lire la position : hauteur et pente

3. Lire la vitesse et l’accélération : pente et aire

4. Construire trois graphiques pour un même trajet

Découper l’énoncé avant de calculer

5. Choisir une équation sur un intervalle valable

Sans utiliser le déplacement

Sans utiliser la vitesse finale

Sans utiliser la durée écoulée

Sans utiliser explicitement l’accélération

6. Résoudre un arrêt sans prolonger le freinage

Choisir, calculer, vérifier

7. Essayer six questions progressives

1. Une position négative signifie-t-elle un mouvement vers la gauche?

2. Traverser zéro sur un graphique de vitesse

3. Atteindre deux fois la même position

4. Changer de modèle après l’arrêt

5. Mêmes vitesses aux extrémités, même déplacement?

6. Relier un délai et un freinage

Complément facultatif : vitesse relative et traversée d’une rivière

Nommer l’objet et l’observateur

Exemple résolu 1 : que mesure un observateur en mouvement?

Exemple résolu 2 : traverser au plus vite ou arriver juste en face?

A. Atteindre n’importe quel point de la rive opposée au plus vite

B. Arriver juste en face du point de départ

Vérifier la possibilité physique avant l’arcsinus

Essayer quatre exercices de difficulté croissante

1. Garder le signe en une dimension

2. Soustraire deux paires de composantes

3. Trouver la traversée la plus rapide et le point d’arrivée

4. Tester l’arrivée juste en face et ses limites

Garder les modèles et les liens aux cours précis

Prolongement facultatif en calcul : une même expression, une autre grandeur

Chariot A : l’expression donne la vitesse

Nouvel essai indépendant, chariot B : l’expression donne la position

8. Vérifier rapidement le modèle et le résultat

9. Sources et lien avec le cours

Utile pour

Travaillez l’étape qui vous manque.

Guides et exercices gratuits

Diagrammes de forces et frottement : passer aux équations

Travail, énergie ou quantité de mouvement : choisir la méthode

Un projectile lancé et reçu à des hauteurs différentes