Fonctions : transformations, composition et réciproques

Partir des entrées pour construire la règle

Une fonction associe exactement une sortie à chaque entrée permise. Dans $f(x)$, $x$ est l’entrée, $f$ nomme la fonction et $f(x)$ est sa sortie. Les parenthèses ne désignent pas une multiplication. Dans le couple $(x,f(x))$, l’entrée vient en premier.

Vous utiliserez la substitution, les carrés, les racines carrées et la résolution d’équations simples. Revoyez les bases d’algèbre au besoin. Cette leçon approfondit les premières notions de composition et de fonction réciproque en suivant des points, en vérifiant les entrées permises et en renversant un processus concret. Elle comprend huit exemples résolus numérotés, cinq schémas, huit exercices de base, deux exercices de transfert, six exercices sur les transformations et quatre exercices sur les fonctions définies par parties. Tous les exercices sont originaux.

Le domaine est l’ensemble des entrées permises. L’image est l’ensemble des sorties effectivement obtenues. Nous travaillons avec des nombres réels. Pour deux nombres $a\le b$, la notation $[a,b]$ inclut les deux bornes; $[a,\infty)$ désigne tous les réels supérieurs ou égaux à $a$. Le domaine indiqué fait partie de la fonction, même si la formule pourrait accepter d’autres nombres.

Vous souhaitez mieux comprendre une entrée, un graphique ou une fonction réciproque? Un tuteur en algèbre et précalcul peut expliquer la notion, travailler un exemple avec vous et vous aider dans une question semblable. Nous pouvons partir des bases. Les séances sont actuellement offertes en anglais.

1 Relier entrée, sortie, tableau, équation et graphique

Exemple résolu 1 : une règle, quatre représentations

Soit $f(x)=x^2$ de domaine $[-1,2]$. Le processus consiste à élever l’entrée au carré. L’entrée $-1$ donne $(-1)^2=1$; l’entrée $2$ donne $2^2=4$.

Le tableau donne quelques valeurs, pas tout le domaine. Par exemple, $x=1/2$ est aussi permis et donne $f(1/2)=1/4$. Placez l’entrée sur l’axe horizontal et la sortie sur l’axe vertical. Tous les réels entre −1 et 2 étant permis, le graphique comprend la courbe entre les points du tableau.

La plus petite sortie est 0, obtenue à $x=0$; la plus grande est 4, obtenue à $x=2$. Toutes les valeurs intermédiaires sont atteintes : l’image est donc $[0,4]$. Lire seulement les deux extrémités ferait manquer le minimum à l’intérieur de l’intervalle.

Les entrées −1 et 1 donnent toutes deux la sortie 1. C’est permis : une même entrée ne doit pas avoir deux sorties. Cette distinction importera lorsqu’on voudra renverser la règle.

2 Déplacer une sortie ou modifier une entrée

Exemple résolu 2 : comparer deux translations

Pour cet exemple, soit $f(x)=x^2$ sur tous les réels. Posons $g(x)=f(x)+2=x^2+2$ et $h(x)=f(x+2)=(x+2)^2$. Avec $g$, on élève au carré, puis on ajoute 2 à la sortie. Avec $h$, on ajoute 2 à l’entrée, puis on élève au carré.

Suivons le point initial $(1,1)$. Pour $g$, l’entrée reste 1 et la sortie devient 3 : le point devient $(1,3)$. Pour $h$, cherchons quelle nouvelle entrée fournit l’ancienne entrée 1 à $f$. L’équation $x+2=1$ donne $x=-1$. Le point correspondant est donc $(-1,1)$.

Vérifions un piège à la même entrée : $g(1)=3$, mais $h(1)=9$. Les fonctions sont différentes. Le sommet de $g$ est $(0,2)$, et son image est $[2,\infty)$; le sommet de $h$ est $(-2,0)$, et son image est $[0,\infty)$. Les deux domaines contiennent tous les réels.

Généralisons maintenant. Soit $a$ une quantité réelle de translation et $(u,v)$ un point du graphique initial, donc $v=f(u)$. Pour $f(x)+a$, ce point devient $(u,v+a)$. Pour $f(x+a)$, on résout $x+a=u$ : il devient $(u-a,v)$. Si $a\gt 0$, la première translation va vers le haut, la seconde vers la gauche. Une valeur négative de $a$ inverse ces directions. La première conserve le domaine initial; la seconde déplace aussi le domaine.

3 Comprimer ou étirer horizontalement

Exemple résolu 3 : comprimer ou étirer les positions d’entrée

Utilisons un graphique asymétrique pour qu’un changement ne soit pas masqué par une symétrie. Soit $f$ la ligne brisée continue reliant $(-2,1)$, $(0,3)$ et $(4,2)$, sans graphique au-delà de ces extrémités. Son domaine est $[-2,4]$ et son image est $[1,3]$. Les segments comprennent tous les points entre les trois points marqués.

Posons d’abord $g(x)=f(2x)$. Pour retrouver l’entrée initiale 4, résolvons $2x=4$ : la nouvelle entrée est 2. Ainsi, $(4,2)$ devient $(2,2)$. La sortie n’a pas doublé. Chaque coordonnée horizontale est divisée par 2 : le graphique subit une compression horizontale de facteur $1/2$, vers l’axe des $y$. Les trois points marqués deviennent $(-1,1)$, $(0,3)$ et $(2,2)$.

L’entrée fournie à $f$ doit toujours être entre −2 et 4 : $-2\le2x\le4$. Le nouveau domaine est donc $[-1,2]$. Toutes les sorties initiales sont encore atteintes : l’image reste $[1,3]$.

Posons maintenant $s(x)=f(x/2)$. Pour retrouver l’entrée initiale 4, résolvons $x/2=4$ : cette fois, $x=8$. Les mêmes points deviennent $(-4,1)$, $(0,3)$ et $(8,2)$. C’est un étirement horizontal de facteur 2. L’inégalité $-2\le x/2\le4$ donne le domaine $[-4,8]$; l’image reste $[1,3]$.

La règle fiable : pour $f(bx)$, avec $b\gt0$, résolvez $bx=u$. Le point $(u,v)$ devient $(u/b,v)$. Le facteur d’échelle horizontal est $1/b$ : si $b\gt1$, il y a compression; si $0\lt b\lt1$, il y a étirement. Ce facteur est l’inverse du nombre qui multiplie l’entrée.

Comparons avec un multiplicateur extérieur : $2f(x)$ envoie $(u,v)$ vers $(u,2v)$, soit un étirement vertical de facteur 2. Le domaine de cet exemple reste $[-2,4]$, mais son image devient $[2,6]$. Au point marqué $(4,2)$, $f(2x)$ fait correspondre $(2,2)$, tandis que $2f(x)$ fait correspondre $(4,4)$. Les multiplications intérieure et extérieure modifient des coordonnées différentes.

4 Réfléchir par rapport aux axes

Exemple résolu 4 : quelle coordonnée change de signe?

Gardons la même fonction en ligne brisée que dans l’exemple 3. Pour $r(x)=-f(x)$, on calcule d’abord $f$, puis on prend l’opposé de la sortie. Le point $(4,2)$ devient $(4,-2)$. Chaque point $(u,v)$ devient $(u,-v)$ : c’est une réflexion par rapport à l’axe des $x$. Le domaine reste $[-2,4]$, tandis que l’image passe de $[1,3]$ à $[-3,-1]$. Écrivez les bornes de l’intervalle dans l’ordre croissant.

Pour $t(x)=f(-x)$, on prend l’opposé de l’entrée avant d’appliquer $f$. Pour retrouver l’entrée initiale 4, on résout $-x=4$, donc $x=-4$. Le point $(4,2)$ devient $(-4,2)$. En général, $(u,v)$ devient $(-u,v)$ : c’est une réflexion par rapport à l’axe des $y$. L’image reste $[1,3]$. La restriction $-2\le-x\le4$ devient, en multipliant par −1 et en renversant les deux signes d’inégalité, $2\ge x\ge-4$. Le domaine est donc $[-4,2]$.

Un point situé sur l’axe de réflexion reste fixe. Réfléchir par rapport à un axe n’échange pas les coordonnées; la réflexion par rapport à $y=x$ pour une fonction réciproque, étudiée plus loin, les échange. Pour une fonction paire comme $f(x)=x^2$, la réflexion par rapport à l’axe des $y$ paraît inchangée, car le graphique initial possède déjà cette symétrie. Ce cas particulier ne signifie pas que $f(-x)=-f(x)$.

Avec les deux signes moins, $-f(-x)$, les deux coordonnées changent de signe : $(u,v)\mapsto(-u,-v)$. Pour un multiplicateur non nul quelconque, $af(x)$ multiplie les distances verticales par $|a|$ et ajoute une réflexion par rapport à l’axe des $x$ si $a\lt0$. De même, $f(bx)$ multiplie les distances horizontales par $1/|b|$ et ajoute une réflexion par rapport à l’axe des $y$ si $b\lt0$.

5 Combiner les transformations avec les points

Vous pouvez d’abord vous concentrer sur les transformations simples, puis revenir ici pour les combiner. La même équation d’entrée suffit : nul besoin d’une nouvelle règle de direction pour chaque formule.

Exemple résolu 5 : combiner les transformations, une coordonnée à la fois

Avec la même fonction $f$, posons $q(x)=-2f(-2(x-1))+1$. Partons du point initial $(4,2)$. Pour sa position horizontale, il faut $-2(x-1)=4$. Divisons par −2, puis ajoutons 1 : $x=-1$. Pour sa hauteur, multiplions l’ancienne sortie par −2, puis ajoutons 1 : $-2(2)+1=-3$. Le point correspondant est $(-1,-3)$. Vérification directe : $q(-1)=-2f(4)+1=-3$.

La coordonnée horizontale change de signe et est divisée par 2, puis déplacée de 1 vers la droite; la coordonnée verticale change de signe et est doublée, puis déplacée de 1 vers le haut. Appliquez ces translations après les changements d’échelle des coordonnées. Voici les trois points marqués :

Pour le domaine, conservons $-2\le-2(x-1)\le4$. Diviser par −2 renverse les inégalités : $1\ge x-1\ge-2$, donc $2\ge x\ge-1$. Dans l’ordre croissant, le domaine est $[-1,2]$. L’image initiale $[1,3]$ devient $[-5,-1]$ : l’ancien maximum 3 donne le nouveau minimum −5. Reliez les points transformés dans l’ordre croissant des entrées pour tracer la nouvelle ligne brisée.

Un résumé à consulter : la transformation générale des points

Pour $F(x)=af(b(x-h))+k$, avec $a\ne0$ et $b\ne0$, les lettres $a,b$ sont des multiplicateurs et $h,k$ sont des quantités de translation. Si $(u,v)$ appartient au graphique initial, résolvez $b(x-h)=u$ et transformez la sortie :

$$(u,v)\longmapsto\left(h+\frac{u}{b},\;av+k\right).$$

Pour un domaine initial $[L,U]$, où $L\le U$ sont ses bornes inférieure et supérieure, le nouveau domaine est $[h+L/b,h+U/b]$ si $b\gt0$, mais $[h+U/b,h+L/b]$ si $b\lt0$. Un multiplicateur négatif renverse l’ordre des bornes; une borne exclue reste exclue à sa nouvelle position. Pour une image $[m,M]$, où $m\le M$ sont ses sorties minimale et maximale, la nouvelle image est $[am+k,aM+k]$ si $a\gt0$, et $[aM+k,am+k]$ si $a\lt0$. Si le domaine n’est pas un intervalle, transformez ses entrées permises sans remplir les lacunes.

Gardez l’expression intérieure sous la forme factorisée indiquée. Par exemple, $f(2x-6)=f(2(x-3))$ donne $h=3$, et non 6, et transforme $u$ en $3+u/2$. En cas de doute, posez l’expression intérieure égale à l’entrée initiale. Cela vérifie aussi l’ordre des transformations.

6 Composer des règles et vérifier les deux domaines

Exemple résolu 6 : une racine carrée, puis une fraction

Soit $g(x)=\sqrt{x-1}$, de domaine $[1,\infty)$, et $f(t)=1/(t-2)$, dont l’entrée $t$ peut être tout réel sauf 2. La lettre $t$ nomme simplement l’entrée de $f$. La composée $(f\circ g)(x)$ signifie $f(g(x))$ : on applique d’abord $g$, puis on fournit sa sortie à $f$.

$$(f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}-2}.$$

Premièrement, la racine carrée exige $x-1\ge0$, donc $x\ge1$. Deuxièmement, sa sortie ne doit pas être 2, car le dénominateur extérieur serait nul. Résoudre $\sqrt{x-1}=2$ donne $x=5$. Le domaine de la composée est donc $[1,5)\cup(5,\infty)$. Le symbole $\cup$ réunit les deux intervalles; les parenthèses excluent 5.

Besoin des étapes pour une équation avec une racine carrée? Exercez-vous à vérifier les restrictions et chaque valeur candidate.

À $x=10$, la chaîne est $10\mapsto3\mapsto1$, donc $(f\circ g)(10)=1$. À $x=5$, la première étape fonctionne, mais pas la deuxième. À $x=0$, la première étape échoue déjà dans les réels.

Renverser l’ordre change le processus : $(g\circ f)(x)=\sqrt{1/(x-2)-1}$. Pour son domaine, on garde $x\ne2$ et on exige $(3-x)/(x-2)\ge0$. Si $x\lt 2$, la fraction est négative; si $2\lt x\le3$, elle est positive ou nulle; si $x\gt 3$, elle est négative. Son domaine est donc $(2,3]$, très différent de celui de la première composée.

En général, une entrée est permise dans $f\circ g$ seulement si elle appartient au domaine de $g$ et si sa sortie $g(x)$ appartient au domaine de $f$. Simplifier une expression ne rétablit jamais une entrée exclue par le processus initial.

7 Restreindre une fonction quadratique avant de la renverser

Exemple résolu 7 : échanger les rôles de l’entrée et de la sortie

Considérons $p(x)=x^2+1$. Sur tous les réels, −2 et 2 donnent tous deux 5. Renverser cette association donnerait deux sorties possibles pour l’entrée 5 : il n’existe donc pas de fonction réciproque sur ce domaine entier. Une fonction est injective lorsque des entrées différentes donnent toujours des sorties différentes.

Restreignons maintenant $p$ à $[0,2]$. Elle croît de 1 à 5 et est injective. Son image est $[1,5]$. Pour la renverser, appelons $y$ la sortie initiale et isolons son entrée non négative $x$ :

$$y=x^2+1\quad\Longrightarrow\quad x^2=y-1\quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{y-1}.$$

On choisit la racine carrée non négative parce que le domaine initial exige $x\ge0$. Renommons $x$ l’entrée de la réciproque pour utiliser la notation habituelle :

$$p^{-1}(x)=\sqrt{x-1},\qquad 1\le x\le5.$$

La réciproque a pour domaine $[1,5]$ et pour image $[0,2]$ : les sorties initiales deviennent les entrées permises, et les entrées initiales deviennent les sorties. Le point initial $(2,5)$ devient $(5,2)$. Cet échange de coordonnées réfléchit le graphique par rapport à $y=x$.

Vérifions les deux sens sur leurs domaines respectifs :

$$p^{-1}(p(x))=\sqrt{x^2}=x\quad(0\le x\le2),$$$$p(p^{-1}(x))=(\sqrt{x-1})^2+1=x\quad(1\le x\le5).$$

Pour un réel quelconque, $\sqrt{x^2}=|x|$, pas toujours $x$. La restriction permet la première vérification. Une restriction à $[-2,0]$ donnerait plutôt la réciproque $-\sqrt{x-1}$, elle aussi de domaine $[1,5]$.

Une fonction réciproque n’est pas l’inverse multiplicatif

La notation $p^{-1}$ désigne la règle qui renverse $p$. L’inverse multiplicatif $1/p(x)$ divise 1 par sa sortie. Pour notre fonction restreinte, $p^{-1}(2)=1$, tandis que $1/p(2)=1/5$. Leurs domaines sont même différents ici : $[1,5]$ et $[0,2]$, respectivement. Lisez toujours la notation dans son contexte.

8 Renverser un processus concret en deux étapes

Exemple résolu 8 : retrouver une durée de location à partir du coût

Dans un modèle simplifié, louer une machine coûte 12 $ de frais fixes plus 8 $ par heure; la durée est facturée de façon continue et il n’y a aucuns autres frais. Soit $t$ la durée en heures, où $0\le t\le6$, et $C(t)$ le coût en dollars. Alors $C(t)=8t+12$, et l’image est $[12,60]$.

Le processus direct multiplie la durée par 8, puis ajoute 12. Pour le renverser, on soustrait d’abord 12 au coût, puis on divise par 8. Si $c$ est le coût en dollars,

$$C^{-1}(c)=\frac{c-12}{8},\qquad 12\le c\le60.$$

Une facture de 44 $ correspond à $(44-12)/8=4$ heures. Vérification dans le modèle initial : $8(4)+12=44$. Une facture de 68 $ donnerait 7 algébriquement, mais 7 heures dépasse le domaine de ce modèle. Sa réciproque ne permet pas de justifier cette location.

La sortie de la réciproque est en heures, pas en dollars. Diviser d’abord, puis soustraire 12 renverserait les opérations dans le mauvais ordre. Une facturation réelle pourrait comporter des arrondis ou d’autres frais : cette réciproque vaut seulement pour le modèle indiqué.

S’exercer en huit étapes

Utilisez un indice au besoin ou ouvrez la solution expliquée pour étudier la méthode. Vérifiez les entrées permises autant que les calculs.

1. Pour $r(x)=3x-2$ sur tous les réels, trouvez $r(-2)$, $r(0)$ et $r(3)$, puis écrivez les trois points du graphique.

   Indice facultatif 1

   Remplacez chaque entrée entre parenthèses. Un point s’écrit $(x,r(x))$.

   Solution expliquée 1

   $r(-2)=3(-2)-2=-8$, $r(0)=-2$ et $r(3)=7$. Les points sont $(-2,-8)$, $(0,-2)$ et $(3,7)$. La première coordonnée reste l’entrée.

2. Soit $s(x)=x^2$ de domaine $[-3,1]$. Trouvez son image. Le domaine se limite-t-il aux quatre entiers −3, −2, −1 et 0?

   Indice facultatif 2

   Vérifiez si 0 est une entrée permise. Comparez sa sortie à celles des bornes.

   Solution expliquée 2

   Le minimum est $s(0)=0$; le maximum est $s(-3)=9$, tandis que $s(1)=1$. Toutes les valeurs de 0 à 9 sont atteintes : l’image est $[0,9]$. Le domaine comprend tous les réels entre −3 et 1, dont 1 et des fractions comme $1/2$; ce n’est pas une liste finie.

3. Le graphique de $f$ contient $(4,-2)$. Trouvez le point correspondant sur $y=f(x)+3$, puis sur $y=f(x+3)$.

   Indice facultatif 3

   Pour la translation horizontale, quelle nouvelle entrée satisfait $x+3=4$?

   Solution expliquée 3

   La translation verticale donne la sortie $-2+3=1$, donc le point $(4,1)$. La translation horizontale exige $x=1$, donc le point $(1,-2)$. L’ajout à l’intérieur déplace ce point vers la gauche, pas vers la droite.

4. Soit $f(x)=\sqrt{x}$, de domaine $[0,\infty)$. Trouvez le point de départ, le domaine et l’image de $h(x)=f(x-4)-1$.

   Indice facultatif 4

   Il faut $x-4\ge0$. La sortie de la racine carrée est non négative avant de soustraire 1.

   Solution expliquée 4

   Le graphique se déplace de 4 vers la droite et de 1 vers le bas. Son point de départ est $(4,-1)$, son domaine est $[4,\infty)$ et son image est $[-1,\infty)$. Vérification : $h(4)=\sqrt0-1=-1$.

5. Soient $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2$, sur tous les réels. Trouvez $(f\circ g)(-2)$ et $(g\circ f)(-2)$.

   Indice facultatif 5

   Allez de l’intérieur vers l’extérieur en notant la sortie intermédiaire.

   Solution expliquée 5

   $g(-2)=4$, donc $f(g(-2))=f(4)=9$. Dans l’autre ordre, $f(-2)=-3$, donc $g(f(-2))=g(-3)=9$. L’égalité pour cette entrée ne rend pas les composées identiques : à 1 elles valent 3 et 9. Les règles générales sont $2x^2+1$ et $(2x+1)^2$.

6. Soient $f(t)=1/t$, $t\ne0$, et $g(x)=\sqrt{x+2}$, $x\ge-2$. Trouvez $(f\circ g)(x)$ et son domaine. L’entrée $x=-2$ est-elle permise?

   Indice facultatif 6

   La racine intérieure doit exister et sa sortie doit être non nulle.

   Solution expliquée 6

   $(f\circ g)(x)=1/\sqrt{x+2}$. La racine exige $x\ge-2$, mais à −2 sa sortie est 0, que $f$ ne peut pas accepter. Le domaine est donc $(-2,\infty)$. La borne est exclue même si $g(-2)$ existe.

7. Soit $q(x)=(x-3)^2$ de domaine $[3,\infty)$. Trouvez sa réciproque, son domaine et son image, puis vérifiez $q^{-1}(16)$.

   Indice facultatif 7

   Dans $y=(x-3)^2$, la restriction garantit $x-3\ge0$.

   Solution expliquée 7

   L’image de $q$ est $[0,\infty)$. La racine non négative donne $x-3=\sqrt y$, donc $q^{-1}(x)=3+\sqrt x$, de domaine $[0,\infty)$ et d’image $[3,\infty)$. Ainsi, $q^{-1}(16)=7$, et $q(7)=16$ vérifie le renversement.

8. Soit $m(x)=4x-3$ sur tous les réels. Trouvez $m^{-1}(5)$ et $1/m(5)$, puis indiquez les domaines des fonctions réciproque et inverse multiplicative.

   Indice facultatif 8

   Pour renverser $m$, isolez $x$ dans $y=4x-3$. Pour l’inverse multiplicatif, évaluez d’abord la fonction initiale.

   Solution expliquée 8

   $m^{-1}(x)=(x+3)/4$, donc $m^{-1}(5)=2$. Mais $m(5)=17$, donc $1/m(5)=1/17$. La réciproque accepte tous les réels. La fonction $1/(4x-3)$ exclut $x=3/4$, où son dénominateur est nul.

Transférer et réessayer

9. Le graphique d’une fonction $f$ a pour domaine $[-1,2]$, pour image $[0,4]$ et contient $(1,3)$. On définit $k(x)=f(x+2)-5$. Trouvez le nouveau domaine, la nouvelle image et le point correspondant. Faut-il connaître une formule pour $f$?

   Indice facultatif 9

   Conservez $-1\le x+2\le2$; soustrayez séparément 5 à chaque sortie.

   Solution expliquée 9

   Soustraire 2 dans l’inégalité donne le domaine $[-3,0]$. L’image devient $[-5,-1]$. Le point se déplace de 2 vers la gauche et de 5 vers le bas : $(1,3)$ devient $(-1,-2)$. Aucune formule n’est nécessaire : le domaine, l’image et le point fournis suffisent.

10. Un service d’impression simplifié facture $P(n)=0{,}20n+4$ dollars pour un nombre entier $n$ de pages, $0\le n\le100$. Trouvez la règle réciproque sur l’image réelle des coûts. Combien de pages correspondent à 9,40 $? Le coût 9,50 $ appartient-il à l’image?

    Indice facultatif 10

    Renversez les frais fixes et le tarif par page, puis vérifiez que le résultat est un entier permis.

    Solution expliquée 10

    Pour un coût $c$ en dollars, $P^{-1}(c)=(c-4)/0{,}20$. Son domaine est l’ensemble discret $\{4;4{,}20;4{,}40;\ldots;24\}$, pas tous les coûts réels entre 4 et 24; son image est $\{0;1;\ldots;100\}$. Le coût 9,40 $ donne $(9{,}40-4)/0{,}20=27$ pages. Le coût 9,50 $ donne 27,5, qui n’est pas entier : il n’appartient donc pas à l’image de ce modèle. Une formule seule ne supprime pas la restriction du contexte.

S’exercer aux transformations en six étapes

Ces six questions vont d’une seule coordonnée modifiée aux transformations combinées et à la vérification des bornes. Les indices et les solutions expliquées sont disponibles au besoin.

11. Le graphique de $f$ contient $(6,-2)$. Trouvez le point correspondant sur $y=f(3x)$. S’agit-il d’un étirement ou d’une compression horizontale?

    Indice facultatif 11

    Résolvez $3x=6$; gardez la même sortie.

    Solution expliquée 11

    La nouvelle entrée est $x=2$, donc le point est $(2,-2)$. Les coordonnées horizontales sont divisées par 3 : c’est une compression de facteur $1/3$, et non un étirement de facteur 3.

12. Une fonction a pour domaine $[-3,6]$ et pour image $[-2,5]$. Trouvez le domaine et l’image de $s(x)=f(x/3)$, puis transformez le point $(6,5)$.

    Indice facultatif 12

    Il faut $-3\le x/3\le6$. Aucune opération ne modifie la sortie.

    Solution expliquée 12

    Multiplier l’inégalité par 3 donne le domaine $[-9,18]$. L’image reste $[-2,5]$; $(6,5)$ devient $(18,5)$. Le facteur d’échelle horizontal est 3.

13. Une fonction a pour domaine $[1,5]$, pour image $[-2,4]$ et contient $(3,-2)$. Pour chacune des fonctions $-f(x)$ et $f(-x)$, donnez le point réfléchi, l’axe de réflexion, le domaine et l’image.

    Indice facultatif 13

    Le signe moins extérieur modifie la deuxième coordonnée; le signe moins intérieur modifie la première.

    Solution expliquée 13

    Pour $-f(x)$ : $(3,2)$, réflexion par rapport à l’axe des $x$, domaine $[1,5]$, image $[-4,2]$. Pour $f(-x)$ : $(-3,-2)$, réflexion par rapport à l’axe des $y$, domaine $[-5,-1]$, image $[-2,4]$. Renversez l’ordre des bornes après avoir pris leurs opposés.

14. Une élève affirme : « $f(x/3)$ et $3f(x)$ étirent tous deux le graphique par 3, donc c’est la même chose. » Utilisez le point initial $(3,2)$ pour expliquer l’erreur. Certaines fonctions particulières peuvent-elles rendre les deux formules égales?

    Indice facultatif 14

    Suivez séparément les coordonnées horizontale et verticale. Pour la dernière question, pensez à la fonction nulle.

    Solution expliquée 14

    La première transformation envoie $(3,2)$ vers $(9,2)$; la seconde l’envoie vers $(3,6)$. Ce sont des transformations différentes : étirement horizontal ou vertical. Elles ne donnent pas nécessairement des fonctions différentes dans tous les cas particuliers : pour une autre fonction, $f(x)=0$ sur tous les réels, les deux donnent la fonction nulle. Une coïncidence particulière n’est pas une règle générale de transformation.

15. Soit $f$ de domaine $[-6,3)$, dont le graphique contient $(-3,2)$. Trouvez le domaine de $g(x)=f(-3(x+1))$ et le point correspondant. Expliquez quelle borne est exclue.

    Indice facultatif 15

    Conservez $-6\le-3(x+1)\lt3$. Diviser par un nombre négatif renverse les signes d’inégalité.

    Solution expliquée 15

    Diviser par −3 donne $2\ge x+1\gt-1$, donc $1\ge x\gt-2$. Le domaine est $(-2,1]$. La borne initiale exclue 3 devient la nouvelle borne exclue −2. Résoudre $-3(x+1)=-3$ donne $x=0$, donc le point devient $(0,2)$. Le facteur d’échelle horizontal est $1/3$, avec une réflexion, puis une translation de 1 vers la gauche.

16. Une fonction a pour domaine $[-2,4]$, pour image $[-1,3]$ et contient $(2,-1)$. Soit $G(x)=-f(2(x-3))+4$. Trouvez son domaine, son image et le point correspondant. Vérifiez ce point avec l’entrée initiale.

    Indice facultatif 16

    Résolvez $2(x-3)=u$, puis transformez $v$ en $-v+4$.

    Solution expliquée 16

    La transformation des points est $(u,v)\mapsto(3+u/2,4-v)$. Le domaine est $[2,5]$; l’image est $[1,5]$, l’ancien minimum −1 devenant le nouveau maximum 5. Le point est $(4,5)$. Vérification : $2(4-3)=2$ et $G(4)=-f(2)+4=-(-1)+4=5$. On combine une compression horizontale, une translation vers la droite, une réflexion par rapport à l’axe des $x$ et une translation vers le haut.

Quand l’entrée détermine la règle

Une fonction définie par parties, aussi appelée fonction définie par morceaux, utilise différentes formules sur différentes parties de son domaine. Elle associe toujours une seule sortie à chaque entrée permise. Lisez d’abord la condition sur l’entrée, puis utilisez la formule correspondante. Il ne faut pas additionner les formules.

Ce complément facultatif utilise la substitution et les inégalités. Lisez les étapes résolues ou ouvrez une réponse dès que cela vous aide; vous n’avez pas besoin d’essayer la question auparavant.

Choisir la branche avant de remplacer la variable

Soit $x$ une entrée réelle et $p(x)$ sa sortie, sans unités physiques. On définit

Chaque ligne est une branche. La condition à droite indique quand utiliser la formule à gauche. La première inclut −2, mais exclut 1; la seconde inclut 1 et 4. Ensemble, elles donnent le domaine $[-2,4]$.

• Pour $p(0)$, l’entrée 0 satisfait $-2\leq0<1$, donc $p(0)=0+3=3$.
• Pour $p(1)$, la condition $x<1$ est fausse. On utilise la seconde branche : $p(1)=6-1=5$. Calculer $1+3=4$ utilise une formule hors de son intervalle.
• Pour $p(4)$, la seconde branche donne $p(4)=6-4=2$.
• Cette définition ne donne aucune valeur à $p(5)$. Aucun intervalle ne permet l’entrée 5, même si les deux formules peuvent y être calculées.

Pour tracer la fonction, nommez l’axe horizontal $x$ et l’axe vertical $p(x)$. Tracez la partie de $y=x+3$ allant d’un point plein en $(-2,1)$ à un point vide en $(1,4)$. Tracez la partie de $y=6-x$ allant d’un point plein en $(1,5)$ à un point plein en $(4,2)$. Un point vide est exclu; un point plein est inclus. Ne reliez pas $(1,4)$ à $(1,5)$ par un segment vertical : cela attribuerait plusieurs sorties à l’entrée 1.

Résoudre dans chaque branche, puis vérifier son intervalle

Calculer $p(1)$ commence par une entrée. Résoudre $p(x)=4$ commence par une sortie et demande quelles entrées la produisent.

• Première branche : $x+3=4$ donne $x=1$, mais 1 ne satisfait pas $-2\leq x<1$. On rejette cette valeur candidate.
• Seconde branche : $6-x=4$ donne $x=2$, qui satisfait $1\leq x\leq4$. On la conserve.

La seule solution est $x=2$. Vérification : $p(2)=6-2=4$. Sur le graphique, la droite horizontale à la sortie 4 rencontre la fonction en $(2,4)$; le point vide $(1,4)$ ne compte pas.

S’exercer, une décision à la fois

1. Avec la même fonction $p$, calculez $p(-2)$, $p(1/2)$ et $p(3)$.

   Voir les branches choisies et les réponses

   La première branche s’applique en $-2$ et en $1/2$ : $p(-2)=1$ et $p(1/2)=7/2$. La seconde s’applique en 3 : $p(3)=3$. Comparez l’entrée à la borne avant de calculer.

2. Résolvez $p(x)=3$. Deux entrées différentes peuvent-elles donner cette sortie?

   Voir la solution

   Première branche : $x+3=3$ donne $x=0$, dans son intervalle. Seconde branche : $6-x=3$ donne $x=3$, aussi dans son intervalle. Les deux conviennent : $p(0)=p(3)=3$. Des entrées différentes peuvent partager une sortie; chaque entrée individuelle garde une seule sortie.

3. Changez la condition de la première branche pour $-2\leq x\leq1$, sans modifier la seconde. Obtient-on encore une fonction?

   Voir la vérification à la borne

   Non. À l’entrée 1, les deux branches s’appliquent maintenant, mais donnent des sorties différentes : $1+3=4$ et $6-1=5$. Rétablir une borne exclue dans une branche permet de choisir une seule sortie. Des conditions qui se chevauchent sont permises si chaque entrée commune donne la même sortie, mais elles sont incompatibles ici.

4. Un réservoir contient initialement 6 L d’eau. L’eau entre à 2 L/min pendant les 3 premières minutes, puis à 1 L/min pendant les 4 minutes suivantes. Il n’y a aucune sortie d’eau et le réservoir ne déborde pas. Soit $t$ le temps écoulé en minutes et $V(t)$ le volume en litres, pour $0\leq t\leq7$. Expliquez la seconde branche ci-dessous, puis trouvez $V(3)$, $V(5)$ et le moment où le réservoir contient 14 L.

   $$V(t)=\begin{cases}6+2t,&0\leq t\leq3,\\12+(t-3),&3<t\leq7.\end{cases}$$
   Voir un indice

   Au changement de débit, le réservoir contient déjà $6+2(3)=12$ L. Combien de minutes se sont écoulées depuis ce changement?

   Voir l’explication et les réponses

   Après la troisième minute, le temps écoulé au nouveau débit est de $t-3$ minutes. On ajoute donc $1(t-3)$ litres aux 12 L déjà présents. Utiliser $12+t$ compterait trois minutes de trop au nouveau débit. La borne appartient à la première branche : $V(3)=12$ L. À la cinquième minute, $V(5)=12+(5-3)=14$ L.

   Pour 14 L, la première formule donne $6+2t=14$, soit $t=4$, hors de son intervalle. La seconde donne $12+(t-3)=14$, soit $t=5$, dans son intervalle. Le réservoir atteint 14 L après 5 minutes. Au changement, les deux formules donnent 12 : les parties du graphique se rejoignent sans saut, même si le débit change.

Une habitude à conserver : choisissez la branche selon l’entrée, calculez la sortie, puis vérifiez de nouveau la condition quand vous cherchez une entrée. Plus tard, cette distinction aide à séparer la valeur d’une fonction à une borne de son comportement à proximité.

Choisir la prochaine étape

Si le graphique pose problème, revoyez les points, la pente et les graphiques de droites. Pour approfondir les sommets et les domaines des fonctions quadratiques, poursuivez avec les graphiques quadratiques. Reliez ensuite les transformations aux phénomènes périodiques avec le cercle trigonométrique et les graphiques trigonométriques.

En vérifiant votre travail, demandez-vous : qu’est-ce qui entre, qu’est-ce qui sort et quelles valeurs sont permises à chaque étape? Si une étape reste floue, le tutorat en algèbre et précalcul peut vous aider à travailler un problème de graphique ou de fonction réciproque à votre rythme. Les séances sont actuellement offertes en anglais.