Exercices de calcul I sur les limites et les dérivées

Comment utiliser ces exercices

Les questions 1 à 8 vous aident à repérer l’étape à retravailler : conserver le domaine, comparer des limites à gauche et à droite, vérifier la continuité, utiliser la définition de la dérivée ou choisir les règles de dérivation. La progression va de l’algèbre guidée à une tangente implicite à trouver de façon autonome. Chaque question propose un indice, une solution expliquée et une erreur précise à diagnostiquer.

Pour les questions 1 à 8, prévoyez environ 60 à 65 minutes pour un premier essai, puis 20 à 30 minutes pour comparer les méthodes et reprendre les étapes manquées. Adaptez ces durées à vos besoins, ou faites deux séances plus courtes : les questions 1 à 4, puis les questions 5 à 8.

Gardez les indices et les solutions fermés pendant le premier essai. À côté de chaque réponse, notez votre méthode, une vérification de domaine ou de signe, et la première étape qui vous a fait hésiter. Consultez la leçon liée si vous avez besoin d’une explication plus complète. Une réponse trouvée après un indice est utile pour progresser; elle ne constitue pas encore une réussite sans aide.

La série compte quatorze questions : le noyau initial de huit questions, deux questions facultatives d’optimisation et quatre questions facultatives sur le choix de la règle de l’Hôpital. Travaillez les questions 9 et 10 et l’approfondissement sur la règle de l’Hôpital dans des séances distinctes, à votre rythme.

Notation : dans les questions 1 à 8, les entrées, sorties, constantes et coordonnées sont réelles et sans unité. $\mathbb R$ désigne l’ensemble des réels. Dans ce noyau, le symbole prime indique une dérivée par rapport à $x$ ; $h$ est un accroissement de l’entrée, pas une variable de temps. Les arguments trigonométriques sont en radians, et $\pi$ est la constante usuelle du cercle. Le domaine de chaque fonction est donné ou demandé. Le symbole $\setminus$ signifie « en retirant ces valeurs ». Les questions 9 et 10 précisent localement leurs unités physiques et leur variable de dérivation.

1. Conserver le domaine après simplification

Départ guidé · 5 min suggérées

Soit $f(x)=\dfrac{x^2+2x-15}{x+5}$ . Donnez son domaine réel, simplifiez sans modifier ce domaine, puis déterminez $f(-5)$ et $\lim_{x\to-5}f(x)$ . Quelle valeur rendrait un nouveau prolongement continu en $-5$ ?

Indice

Cherchez deux nombres dont le produit vaut $-15$ et la somme, $2$ . Notez la restriction du dénominateur avant de simplifier.

Solution expliquée

Choisir la méthode. La substitution dans la fraction donne $0/0$ , ce qui ne détermine pas la limite. La factorisation convient puisque le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun.

\begin{aligned}&x^2+2x-15\\&\quad=(x+5)(x-3),\\&f(x)=x-3,\\&x\ne-5.\end{aligned}

Le domaine est $\mathbb R\setminus\{-5\}$ . La fonction initiale n’est pas définie en $-5$ . Pour toute valeur admissible voisine, elle vaut $x-3$ , donc

\lim_{x\to-5}f(x)=-8.

Un nouveau prolongement qui coïncide avec $f$ ailleurs doit prendre la valeur $-8$ en $-5$ pour y être continu.

Vérifier le résultat

En $x=-4$ , la fraction initiale et $x-3$ valent toutes deux $-7$ . Cette vérification porte sur une valeur admissible; elle ne rétablit pas $-5$ dans le domaine.

Diagnostiquer l’erreur

Si vous avez écrit $f(-5)=-8$ , vous avez confondu la limite et la valeur de la fonction. Corrigez en indiquant la valeur exclue à côté de la formule simplifiée.

Revoir la simplification, le domaine et les limites

2. Comparer les deux côtés avant de conclure

Vérification guidée des signes · 6 min suggérées

Soit $g(x)=\dfrac{|x+2|}{x+2}$ , avec $x\ne-2$ . Trouvez les limites à gauche et à droite en $-2$ , puis déterminez si la limite bilatérale existe. Peut-on attribuer une valeur réelle à $g(-2)$ pour obtenir un prolongement continu?

Indice

Pour $x<-2$ , le nombre $x+2$ est négatif, donc $|x+2|=-(x+2)$ . Utilisez l’autre signe pour $x>-2$ .

Solution expliquée

Choisir la méthode. La valeur absolue change de formule en $-2$ : il faut examiner chaque côté séparément.

g(x)=\begin{cases}-1,&x<-2,\\1,&x>-2.\end{cases}

\begin{aligned}\lim_{x\to-2^-}g(x)&=-1,\\\lim_{x\to-2^+}g(x)&=1.\end{aligned}

Les limites à gauche et à droite sont différentes; la limite bilatérale n’existe donc pas. Modifier une seule valeur ne change aucune des deux branches voisines. Aucune valeur réelle attribuée en $-2$ ne rend le prolongement continu.

Graphique de g(x)=|x+2|/(x+2) : une branche horizontale à −1 pour x inférieur à −2 et une branche à 1 pour x supérieur à −2. Les deux extrémités en x=−2 sont ouvertes. Aucun point n’est défini en x=−2. — Figure 1. Les deux branches constantes approchent des hauteurs différentes. Les cercles ouverts indiquent la valeur exclue.

Équivalent textuel : g(x)=−1 pour x<−2 et g(x)=1 pour x>−2. La limite à gauche vaut donc −1, celle à droite vaut 1, et la limite bilatérale n’existe pas.

Vérifier le résultat

Prenez $x=-3$ , puis $x=-1$ : vous obtenez $-1$ , puis $1$ . Le raisonnement sur les signes justifie les branches entières, et non seulement ces deux valeurs.

Diagnostiquer l’erreur

Simplifier $|x+2|$ avec $x+2$ comme s’il s’agissait de la même expression fait disparaître la branche négative. La valeur absolue ne s’écrit pas de la même façon des deux côtés.

Revoir la distinction entre limite et valeur ponctuelle

3. Raccorder les valeurs, puis comparer les pentes

Justifier la condition · 8 min suggérées

Soit $c$ une constante réelle. La fonction $p$ est définie pour tout réel $x$ par

p(x)=\begin{cases}x^2+2,&x<2,\\3x+c,&x\ge2.\end{cases}

Trouvez l’unique valeur de $c$ qui rend $p$ continue en $2$ . Avec cette valeur, $p$ est-elle dérivable en $2$ ? Justifiez la deuxième réponse à l’aide des taux de variation à gauche et à droite.

Indice

Pour la continuité, la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction doivent être égales. Après avoir choisi $c$ , étudiez $[p(2+h)-p(2)]/h$ pour $h<0$ et pour $h>0$ .

Solution expliquée

Raccorder d’abord les valeurs. La limite à gauche vaut $2^2+2=6$ . La limite à droite et $p(2)$ valent toutes deux $6+c$ . La continuité exige donc $6=6+c$ , d’où $c=0$ .

Examiner la dérivée séparément. On a maintenant $p(2)=6$ . Pour $h<0$ ,

\begin{aligned}\frac{p(2+h)-p(2)}h\\=\frac{4h+h^2}h\\=4+h.\end{aligned}

Pour $h>0$ , le même taux de variation vaut $3h/h=3$ . Les limites de ces taux sont $4$ à gauche et $3$ à droite. Comme elles diffèrent, le raccord continu présente un point anguleux : $p$ n’est pas dérivable en $2$ .

Vérifier le résultat

Avec $c=0$ , les deux formules se rejoignent à la hauteur $6$ . Cela vérifie la continuité; les pentes différentes montrent pourquoi cette vérification ne suffit pas à établir la dérivabilité.

Diagnostiquer l’erreur

La conclusion « continue, donc dérivable » inverse l’implication valable. La dérivabilité implique la continuité, mais la continuité ne garantit pas l’égalité des pentes.

Revoir l’égalité entre limite et valeur de la fonction

4. Trouver une pente tangente avec la définition

Choisir la manipulation algébrique · 9 min suggérées

Soit $r(x)=\sqrt{x+5}$ , de domaine réel $[-5,\infty)$ . Utilisez la définition par une limite, sans règle de dérivation, pour trouver $r^{\prime}(4)$ . Donnez ensuite l’équation de la tangente au point $(4,r(4))$ .

Indice

Écrivez $[r(4+h)-r(4)]/h$ . Multipliez le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée $\sqrt{9+h}+3$ . Conservez $h\ne0$ jusqu’au passage à la limite.

Solution expliquée

Partir de la définition demandée. Puisque $r(4)=3$ ,

r^{\prime}(4)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}.

L’accroissement $h$ est non nul pendant la simplification; lorsqu’il est assez proche de zéro, on a aussi $9+h>0$ . En rationalisant, on obtient

\begin{aligned}&\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\\&=\frac{(9+h)-9}{h(\sqrt{9+h}+3)}\\&=\frac1{\sqrt{9+h}+3},\\&h\ne0.\end{aligned}

Cette dernière expression tend vers $1/6$ . L’équation de la tangente est donc

y-3=\frac16(x-4).

Ici, $y$ est la coordonnée verticale sur la tangente. La pente décrit la variation instantanée de la sortie par unité de variation de l’entrée.

Vérifier le résultat

La droite passe par $(4,3)$ et sa pente est positive, ce qui concorde avec la croissance de la fonction racine carrée près de ce point.

Diagnostiquer l’erreur

Remplacer $h$ par zéro avant de simplifier produit une forme indéterminée, pas la dérivée. Attention aussi : $r(4+h)$ n’est pas égal à $r(4)+h$ .

Revoir la simplification près d’une valeur exclue

5. Nommer la première règle avant de dériver

Planifier sans calculer · 6 min suggérées

Pour chaque expression, donnez le domaine réel, repérez l’opération la plus extérieure et nommez la première règle de dérivation. Repérez toute expression intérieure qui nécessitera la règle de la chaîne. Ne calculez pas encore les dérivées complètes.

A(x)=(1-2x)^5

B(x)=(x^2+1)\sin x

C(x)=\frac{\sin(x^2)}{x+2}

Indice

Demandez-vous quelle opération termine la construction de l’expression entière. Une puissance, un produit et un quotient n’appellent pas la même première étape, même si plusieurs expressions contiennent une composition.

Solution expliquée

A : domaine $\mathbb R$ . La dernière opération élève $1-2x$ à la puissance cinq. Commencez par la règle de la chaîne; l’expression intérieure est $1-2x$ , de dérivée $-2$ .
B : domaine $\mathbb R$ . La dernière opération multiplie $x^2+1$ par $\sin x$ . Commencez par la règle du produit. L’argument du sinus est simplement $x$ , donc il n’y a pas de facteur intérieur non trivial; le polynôme se dérive avec les règles de la somme et de la puissance.
C : domaine $\mathbb R\setminus\{-2\}$ . Dans la forme affichée, commencez par la règle du quotient. La dérivée du numérateur nécessite aussi la règle de la chaîne, avec l’expression intérieure $x^2$ , de dérivée $2x$ .

Pour C, on peut aussi écrire $\sin(x^2)(x+2)^{-1}$ , puis appliquer les règles du produit et de la chaîne. Le plan doit correspondre à la forme utilisée et conserver la restriction $x\ne-2$ .

Vérifier le résultat

Nommez les deux facteurs de B, puis le numérateur et le dénominateur de C. Si vous n’arrivez pas à délimiter ces expressions, arrêtez-vous avant de choisir une règle.

Diagnostiquer l’erreur

« Il y a un sinus, donc je commence par sa dérivée » néglige l’opération qui entoure ce sinus. Lisez l’expression entière de l’extérieur vers l’intérieur.

Revoir le choix des règles à partir de l’opération extérieure

6. Corriger une erreur de produit et la vérifier

Diagnostiquer et corriger · 8 min suggérées

Soit $s(x)=(x^2-1)\cos(2x)$ , définie pour tout réel $x$ . Un étudiant écrit

s^{\prime}(x)=(2x)(-2\sin(2x)).

Expliquez la première étape incorrecte, trouvez la bonne dérivée, puis comparez les deux expressions en $x=\pi/2$ .

Indice

L’étudiant a bien dérivé chacun des facteurs. L’erreur vient de la façon dont il a combiné ces dérivées. Écrivez d’abord $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ .

Solution expliquée

Choisir les règles dans l’ordre. La fonction entière est un produit. Posons $u=x^2-1$ et $v=\cos(2x)$ . Alors $u^{\prime}=2x$ , tandis que la règle de la chaîne donne $v^{\prime}=-2\sin(2x)$ . Multiplier $u^{\prime}$ par $v^{\prime}$ n’est pas appliquer la règle du produit.

\begin{aligned}s^{\prime}(x)&=u^{\prime}v+uv^{\prime}\\&=2x\cos(2x)\\&\quad-2(x^2-1)\sin(2x).\end{aligned}

En $x=\pi/2$ , on utilise $\cos\pi=-1$ et $\sin\pi=0$ . La bonne dérivée vaut $-\pi$ ; l’expression de l’étudiant donne $0$ . La fonction et sa dérivée sont définies pour tout réel.

Vérifier le résultat

Le premier terme conserve le cosinus; le deuxième conserve le polynôme. Chaque terme fait varier un facteur en gardant l’autre.

Diagnostiquer l’erreur

Si votre réponse contient seulement le produit des deux dérivées, il manque une contribution entière. Si elle contient $-\sin(2x)$ au lieu de $-2\sin(2x)$ , la dérivée intérieure a été oubliée.

Revoir le repérage de l’opération extérieure

7. Dériver un quotient en conservant ses restrictions

Calcul autonome · 10 min suggérées

Soit $w(x)=\dfrac{\sqrt{3x+4}}{x-1}$ . Donnez son domaine réel. Choisissez les règles nécessaires, calculez $w^{\prime}(x)$ , précisez où cette formule est valable, puis trouvez $w^{\prime}(0)$ .

Indice

La racine carrée exige $3x+4\ge0$ , et le dénominateur exige $x\ne1$ . Pour la dérivée, écrivez d’abord $(u/v)^{\prime}=(u^{\prime}v-uv^{\prime})/v^2$ .

Solution expliquée

Noter le domaine avant de calculer. Le domaine de la fonction est $[-4/3,\infty)\setminus\{1\}$ . Appliquez la règle du quotient avec $u=\sqrt{3x+4}$ et $v=x-1$ . La règle de la chaîne donne

u^{\prime}=\frac3{2\sqrt{3x+4}},\qquad v^{\prime}=1.

Sur la partie ouverte du domaine,

w^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{(x-1)^2}.

Le numérateur vaut

\begin{aligned}u^{\prime}v-uv^{\prime}&=\frac{3(x-1)}{2\sqrt{3x+4}}\\&\quad-\sqrt{3x+4}.\end{aligned}

Réunissez ces deux termes sur $2\sqrt{3x+4}$ . Leur numérateur devient

3(x-1)-2(3x+4)=-3x-11.

On obtient donc

w^{\prime}(x)=-\frac{3x+11}{2\sqrt{3x+4}(x-1)^2},

x>-\frac43,\qquad x\ne1.

La fonction est définie en $-4/3$ , mais cette extrémité n’admet pas de dérivée bilatérale ordinaire; la formule de dérivée affichée n’y est pas définie non plus. En $x=0$ ,

w^{\prime}(0)=-\frac{11}{4}.

Vérifier le résultat

Pour toute valeur admissible dans la formule de dérivée, $3x+11>7$ et le dénominateur est positif. La dérivée est donc négative. La valeur $-11/4$ respecte cette vérification de signe.

Diagnostiquer l’erreur

Surveillez trois erreurs distinctes : inverser la soustraction du quotient, oublier le facteur intérieur $3$ ou conserver dans le domaine de la dérivée l’extrémité admise pour la fonction. Écrivez les deux domaines séparément.

Revoir l’exemple polynomial de règle de la chaîne

8. Trouver une tangente implicite et vérifier le point

Combiner les méthodes · 10 min suggérées

Les coordonnées sans unité $x$ et $y$ satisfont

x^2+xy+y^2=7.

Vérifiez que $P=(1,2)$ appartient à la courbe. Considérez localement $y$ comme une fonction dérivable de $x$ , trouvez $dy/dx$ et précisez la condition permettant de diviser par son coefficient. Trouvez l’équation de la tangente en $P$ . Enfin, expliquez pourquoi dériver $xy$ en écrivant seulement $y$ est incorrect.

Indice

Les deux facteurs de $xy$ varient avec $x$ , puisque $y=y(x)$ . Dérivez chaque terme avant de remplacer les coordonnées, puis regroupez les termes contenant $dy/dx$ .

Solution expliquée

Vérifier le point. La substitution donne $1+2+4=7$ ; le point $P$ appartient donc à la courbe.

Appliquer les règles du produit et de la chaîne. Posons $y^{\prime}=dy/dx$ . En dérivant la relation par rapport à $x$ , on obtient

2x+y+xy^{\prime}+2yy^{\prime}=0.

Le produit fournit $y+xy^{\prime}$ , et le carré de $y$ fournit $2yy^{\prime}$ . En regroupant les termes contenant la dérivée,

(x+2y)y^{\prime}=-(2x+y),

\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y},\qquad x+2y\ne0.

En $P$ , le dénominateur vaut $5$ ; la pente est donc $-4/5$ . L’équation de la tangente est

y-2=-\frac45(x-1).

Dériver $xy$ en écrivant seulement $y$ revient à traiter $y$ comme une constante et à oublier $xy^{\prime}$ . La formule de pente est locale : elle s’applique aux portions de cette courbe qui peuvent s’écrire comme des fonctions dérivables de $x$ , avec un dénominateur non nul.

La courbe x²+xy+y²=7 est une ellipse inclinée vers le bas à droite. Le point P=(1,2) est indiqué sur son arc supérieur droit. La tangente en pointillés passant par P descend de 4/5 pour chaque unité vers la droite. Les axes ont la même échelle. — Figure 2. Les échelles horizontale et verticale sont identiques. La droite en pointillés est tangente en P=(1,2); le calcul de la dérivée établit sa pente.

Équivalent textuel : la courbe est x²+xy+y²=7. En P=(1,2), dy/dx=−4/5 et la tangente est y−2=−(4/5)(x−1). Les coordonnées sont sans unité.

Vérifier le résultat

La droite passe par $(1,2)$ . Dans la relation dérivée en ce point, $4+5(-4/5)=0$ : la pente obtenue satisfait donc aussi l’équation dérivée.

Diagnostiquer l’erreur

Si vous remplacez $(x,y)$ par $(1,2)$ avant de dériver, l’équation devient l’égalité constante $7=7$ et perd toute information sur la pente. Dérivez d’abord; remplacez les coordonnées ensuite.

Revoir seulement l’exemple de pente implicite

Approfondissement facultatif : appliquer les dérivées à l’optimisation

Les questions 9 et 10 prolongent le noyau initial de huit questions. Choisissez-les si l’optimisation figure dans votre liste actuelle de notions; elles ne sont pas présentées comme faisant partie de la matière des semaines 1 à 6 de l’examen de mi-session de Concordia décrit plus bas.

Précisez la grandeur à optimiser et ses valeurs d’entrée permises.
Trouvez les candidats intérieurs à l’aide de la dérivée et ajoutez les extrémités de l’intervalle.
Comparez les valeurs de la grandeur initiale et interprétez le résultat avec ses unités.

Les fonctions de ces deux questions sont continues sur des intervalles fermés et bornés, et dérivables à l’intérieur. Elles atteignent donc un maximum et un minimum; la liste des candidats est complète après la recherche des points stationnaires intérieurs et l’ajout des deux extrémités. Pour le raisonnement sur les signes, revoyez l’exemple existant sur la dérivée première.

9. Garder les extrémités et tous les extrema ex æquo

Pendant une observation de quatre minutes, le volume d’un réservoir est modélisé par $V(t)=t^3-6t^2+9t+20$ litres, où $t$ est le temps écoulé en minutes et $0\leq t\leq4$ . Les coefficients correspondent aux unités indiquées. Trouvez le plus petit et le plus grand volume atteints, ainsi que tous les instants où chacun est atteint. Expliquez quand le réservoir se remplit ou se vide selon ce modèle.

Avant de calculer, écrivez l’intervalle de temps permis et précisez quels points une recherche limitée à la dérivée pourrait manquer.

Indice

Factorisez $V^{\prime}(t)$ , puis faites une liste comprenant ses zéros intérieurs et les deux extrémités. Comparez les volumes, plutôt que les valeurs de la dérivée.

Solution expliquée

Lister les candidats. Le taux $V^{\prime}(t)$ s’exprime en litres par minute :

\begin{aligned}V^{\prime}(t)&=3t^2-12t+9\\&=3(t-1)(t-3).\end{aligned}

Ses zéros intérieurs sont $t=1$ et $t=3$ . Ajoutez $t=0$ et $t=4$ , car le modèle inclut les deux extrémités.

Instants candidats et volumes du modèle
Temps (min)	Volume (L)
0	20
1	24
3	20
4	24

Comparer. Le minimum absolu est de 20 L, atteint à 0 et à 3 minutes. Le maximum absolu est de 24 L, atteint à 1 et à 4 minutes. Gardez les deux instants dans chaque réponse.

Interpréter les signes. Pour $0<t<1$ , les deux facteurs de la dérivée sont négatifs, donc le taux net est positif : le réservoir se remplit. Pour $1<t<3$ , le taux est négatif : il se vide. Pour $3<t<4$ , il se remplit de nouveau. Un taux net nul à un instant ne signifie pas que le réservoir est vide.

Vérifier le résultat

Le remplacement dans le modèle initial donne $V(0)=20$ , $V(1)=24$ , $V(3)=20$ et $V(4)=24$ . Les intervalles de signe confirment les variations entre les candidats, et le volume reste entre 20 et 24 L pendant l’observation. Ne prolongez pas le modèle au-delà de son intervalle donné.

Diagnostiquer l’erreur

Donner seulement les instants stationnaires fait perdre les extrémités ex æquo. Résoudre $V^{\prime}(t)=0$ fournit des candidats; comparer $V(t)$ sur la liste complète établit les extrema absolus.

10. Modéliser l’aire du papier avant de la minimiser

Une région imprimée rectangulaire a une aire de 96 cm². Sa largeur imprimée $x$ doit vérifier $6\leq x\leq12$ , les longueurs étant mesurées en centimètres. Ajoutez une bordure uniforme de 2 cm de chaque côté. Trouvez les dimensions imprimées qui minimisent l’aire totale du papier, puis donnez cette aire minimale.

Exprimez d’abord la hauteur imprimée et les deux dimensions extérieures en fonction de $x$ . Expliquez pourquoi la bordure ajoute 4 cm à chaque dimension.

Indice

La hauteur imprimée est $96/x$ cm. Il y a une bordure aux deux extrémités de chaque dimension. Comparez l’aire à toute largeur stationnaire permise avec les aires aux largeurs de 6 et 12 cm.

Solution expliquée

Construire le modèle. La hauteur imprimée est $96/x$ cm, car le produit largeur-hauteur vaut 96 cm². La largeur extérieure est $x+4$ cm et la hauteur extérieure est $96/x+4$ cm. Soit $A(x)$ l’aire totale du papier en cm² :

\begin{aligned}A(x)&=(x+4)(96/x+4)\\&=112+4x+384/x.\end{aligned}

Trouver le candidat intérieur.

A^{\prime}(x)=4-\frac{384}{x^2}.

A^{\prime}(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x^2=96.

La largeur permise est $x=\sqrt{96}=4\sqrt6$ cm, soit environ 9,798 cm, dans l’intervalle donné. La racine négative est exclue par le domaine des largeurs positives.

Comparer les aires données par le modèle.

\begin{aligned}A(6)&=200\ \mathrm{cm}^2,\\A(12)&=192\ \mathrm{cm}^2,\\A(4\sqrt6)&=112+32\sqrt6\ \mathrm{cm}^2.\end{aligned}

La dernière valeur est d’environ 190,384 cm², inférieure aux deux valeurs aux extrémités. Le minimum se produit donc pour $x=4\sqrt6$ cm. La hauteur imprimée vaut aussi $96/(4\sqrt6)=4\sqrt6$ cm. La feuille entière est un carré de côté $4\sqrt6+4$ cm.

Vérifier le résultat

Les dimensions imprimées donnent $(4\sqrt6)^2=96$ cm². L’ajout des deux bordures donne les dimensions extérieures indiquées. Le carré du côté extérieur vaut $(4\sqrt6+4)^2=112+32\sqrt6$ cm², comme dans le modèle d’aire. Gardez la valeur exacte jusqu’à l’arrondissement final.

Diagnostiquer l’erreur

Ajouter seulement 2 cm à chaque dimension imprimée compte une seule de ses deux bordures. Annuler la dérivée sans vérifier l’intervalle des largeurs et les extrémités ne démontre pas non plus le minimum global.

Approfondissement facultatif : Quand utiliser la règle de l’Hôpital

Exercez-vous à déterminer si la règle de l’Hôpital s’applique avant de l’utiliser. Ces exemples utilisent les dérivées des fonctions exponentielle et logarithmique. Travaillez cette section lorsque ces dérivées et la règle de l’Hôpital font partie des notions que vous étudiez; elle peut se faire séparément des questions 1 à 8.

Examiner la forme avant de dériver

La règle de l’Hôpital est un théorème sur certaines limites de quotients. Ce n’est ni la règle de dérivation d’un quotient ni une méthode applicable à toute limite de quotient.

Pour un quotient $f(x)/g(x)$ , se poser d’abord les questions suivantes :

La continuité, la substitution directe, la factorisation ou une limite usuelle permettent-elles de conclure?
Sinon, obtient-on une forme indéterminée $0/0$ ou $\infty/\infty$ ? Ici, « infini sur infini » permet à chacune des deux fonctions de tendre vers $+\infty$ ou $-\infty$ .
Les autres hypothèses ci-dessous sont-elles satisfaites?

Une version suffisante du théorème

Considérons une limite unilatérale $x\to a^+$ ou $x\to a^-$ , ou une limite lorsque $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$ . Ici, $a$ est un point limite réel fini. Les fonctions $f$ et $g$ sont à valeurs réelles. Sur un intervalle qui s’approche du point considéré du côté choisi, sans inclure ce point, supposons que :

$f$ et $g$ sont dérivables;
$g(x)\ne0$ et $g'(x)\ne0$ sur tout cet intervalle;
soit $f(x)$ et $g(x)$ tendent toutes deux vers zéro, soit chacune tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ;
la limite du rapport des dérivées $\lim f'(x)/g'(x)=L$ existe, où $L$ peut être un nombre réel, $+\infty$ ou $-\infty$ .

Alors $\lim f(x)/g(x)=L$ pour l’approche considérée. À l’infini, on travaille sur $(M,\infty)$ lorsque $x\to+\infty$ , ou sur $(-\infty,M)$ lorsque $x\to-\infty$ , où $M$ est une borne réelle. Pour une limite bilatérale en un point fini, il faut justifier les deux côtés et obtenir la même limite. Les fonctions originales n’ont pas besoin d’être définies au point limite.

Ces hypothèses sont suffisantes : si elles ne sont pas satisfaites, cette version du théorème ne permet pas de conclure. Une autre méthode peut néanmoins établir la limite originale. En particulier, l’absence de limite du rapport des dérivées ne prouve pas, à elle seule, que le quotient original n’a pas de limite.

Exemple résolu : Deux applications, deux vérifications

Calculer

\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}.

La substitution donne la forme $0/0$ . De chaque côté de zéro, sans inclure zéro, le numérateur et le dénominateur sont dérivables, $x^2\ne0$ et la dérivée du dénominateur, $2x$ , est non nulle. Le premier rapport des dérivées est

\frac{e^x-1}{2x}.

Une deuxième application n’est pas automatique : il faut vérifier de nouveau les hypothèses. Ce rapport donne encore la forme $0/0$ . Son numérateur et son dénominateur sont dérivables de chaque côté de zéro; son dénominateur $2x$ y est non nul, et la dérivée de ce dénominateur vaut $2\ne0$ . Le nouveau rapport des dérivées vérifie

\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12.

La deuxième application prouve donc que $(e^x-1)/(2x)\to1/2$ de chaque côté. Cela établit la limite du rapport des dérivées exigée pour la première application, qui donne alors

\boxed{\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12.}

Contre-exemple : Un quotient ne suffit pas

Pour

\lim_{x\to1}\frac{x^2+1}{x+1},

la substitution directe est permise puisque le dénominateur tend vers $2\ne0$ . La réponse est $2/2=1$ .

Remplacer aveuglément le quotient par le rapport des dérivées donnerait $2x/1\to2$ . Ce résultat est faux : la forme originale est $2/2$ , et non $0/0$ ou $\infty/\infty$ . La règle de l’Hôpital ne s’applique donc pas.

À votre tour : Une limite à l’infini

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}$ .

Indice

Préciser le domaine réel de $\ln x$ , identifier la forme et vérifier la dérivée du dénominateur avant de calculer une nouvelle limite.

Solution complète

Le logarithme réel est défini pour $x>0$ . Sur $(1,\infty)$ , les deux fonctions sont dérivables, $x\ne0$ , et la dérivée du dénominateur vaut $1\ne0$ . Les fonctions $\ln x$ et $x$ tendent toutes deux vers $+\infty$ ; la forme est donc $\infty/\infty$ . Le rapport des dérivées est

\frac{1/x}{1}=\frac1x\longrightarrow0.

Toutes les hypothèses énoncées sont satisfaites. La limite originale vaut donc $\boxed{0}$ .

Choisir sa méthode

Pour chaque problème, indiquer la forme et la première méthode choisie avant de calculer. À la question 2, l’angle $x$ est mesuré en radians.

$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ .
Réponse expliquée
$0/0$ ; la factorisation donne $x+2$ pour $x\ne2$ , donc la limite vaut $4$ . La règle de l’Hôpital est aussi possible après vérification de ses hypothèses, mais elle n’est pas nécessaire.
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ .
Réponse expliquée
$0/0$ ; utiliser la limite usuelle, qui vaut $1$ . La règle de l’Hôpital constitue une autre méthode seulement si la formule de dérivation du sinus a été établie indépendamment de cette limite; sinon, le raisonnement peut être circulaire.
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+2}$ .
Réponse expliquée
$1/2$ , ce qui n’est pas une forme indéterminée; la continuité donne $1/2$ . Ne pas appliquer la règle de l’Hôpital.

Choisir la suite à partir de votre première erreur

Questions 1 et 2 : si vous avez rétabli une valeur exclue ou confondu des limites différentes, revoyez la simplification, le domaine et les limites, puis refaites le raisonnement sur les signes ou le domaine sans regarder.
Questions 3 et 4 : si vous avez confondu continuité et dérivabilité, ou remplacé trop tôt l’accroissement par zéro, écrivez la définition de limite pertinente avant de faire l’algèbre. Reprenez la comparaison des deux côtés ou l’étape du conjugué, puis expliquez pourquoi elle est valable.
Questions 5 à 7 : si la première règle était mal choisie, revoyez l’exemple polynomial de règle de la chaîne pour vous exercer à lire l’opération extérieure. Les autres questions de cette leçon utilisent des dérivées exponentielles ou logarithmiques et ne sont pas proposées dans ce parcours ciblé de mi-session.
Question 8 : si un facteur $dy/dx$ a disparu, revoyez la variable qui change à l’intérieur de la formule et l’exemple de pente implicite. Pour cette préparation ciblée, arrêtez-vous avant les sections de taux liés qui utilisent le temps.
Questions 9 et 10 : si un candidat ou une extrémité a été oublié, précisez l’intervalle permis avant de dériver, puis comparez la grandeur initiale à chaque candidat. Revoyez les signes de la dérivée et les extrema. Si le modèle était incorrect, indiquez d’abord les dimensions ou les unités, puis reconstruisez la fonction à optimiser.

Lors d’un nouvel essai, expliquez pourquoi votre première étape convient à l’expression, puis vérifiez le domaine et le résultat. Choisissez ensuite un nouvel exercice parmi ceux de votre enseignant quand vous pouvez reproduire la méthode sans aide. Terminer le noyau ou son approfondissement facultatif fournit un diagnostic; cela ne garantit pas la maîtrise de toute la matière de l’examen.

Utiliser le tutorat pour corriger l’étape manquée

Apportez un problème qui vous bloque ou une notion que vous aimeriez mieux comprendre. Si vous avez un plan de cours, il peut aider à choisir les notions à travailler. Un tuteur peut vous demander de repérer l’opération extérieure avant de calculer, comparer vos limites à gauche et à droite, trouver l’étape où une restriction de domaine a disparu et vous faire reprendre une dérivée implicite en gardant tous les facteurs $dy/dx$ . Pour les questions facultatives d’optimisation, vous pouvez construire le modèle ensemble et vérifier la liste des candidats selon le domaine physique. L’exercice suivant peut ainsi cibler cette erreur précise plutôt que répéter une solution déjà mémorisée. Pour les notions du cours et une aide individuelle, consultez le tutorat de MATH 203 à Concordia.

Notions du cours et renseignements sur l’examen

Concordia, automne 2026 : matière et modalités de l’évaluation

Le plan de MATH 203 de Concordia pour l’automne 2026 situe la semaine de lecture du 10 au 16 octobre et l’examen de mi-session commun de MATH 203 au dimanche 1er novembre 2026, à 17 h 30, pour une durée de 90 minutes, soit jusqu’à 19 h. La matière annoncée correspond aux semaines 1 à 6, y compris la règle de la chaîne et la dérivation implicite. Consultez Moodle et les annonces de votre enseignant pour les modalités à jour.

Les questions 1 à 8 ciblent certaines compétences des semaines 1 à 6. Les questions 9 et 10 forment un approfondissement facultatif distinct en optimisation; choisissez-les selon votre plan de cours actuel, plutôt que comme partie de ce noyau ciblé de mi-session. Ce noyau ne vérifie pas tous les préalables, les transformations de graphiques, les limites à l’infini ou les asymptotes étudiés pendant ces semaines. Les taux liés sont indiqués à la semaine 8 et ne font pas partie de ce noyau de préparation. Les dérivées des fonctions logarithmiques et réciproques figurent à la semaine 7 et ne sont pas évaluées dans les questions 1 à 8 non plus. L’approfondissement facultatif sur la règle de l’Hôpital est distinct de ce noyau de préparation au premier examen de mi-session.

MATH 209 a son propre plan et sa propre évaluation. Pour MATH 140 à McGill, choisissez les questions qui correspondent à votre plan de cours actuel.

Plan de cours

Consultez le plan de MATH 203 de Concordia pour l’automne 2026 pour l’horaire de l’examen et les sujets de chaque semaine. Vérifiez les mises à jour dans Moodle ou auprès de votre enseignant. Ces exercices ont été créés par Nablio.

Exercices de calcul I sur les limites et les dérivées

1. Conserver le domaine après simplification

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Diagnostiquer l’erreur

2. Comparer les deux côtés avant de conclure

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Diagnostiquer l’erreur

3. Raccorder les valeurs, puis comparer les pentes

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Diagnostiquer l’erreur

4. Trouver une pente tangente avec la définition

Vérifier le résultat

Diagnostiquer l’erreur

5. Nommer la première règle avant de dériver

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Diagnostiquer l’erreur

6. Corriger une erreur de produit et la vérifier

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Diagnostiquer l’erreur

7. Dériver un quotient en conservant ses restrictions

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8. Trouver une tangente implicite et vérifier le point

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Approfondissement facultatif : appliquer les dérivées à l’optimisation

9. Garder les extrémités et tous les extrema ex æquo

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Diagnostiquer l’erreur

10. Modéliser l’aire du papier avant de la minimiser

Vérifier le résultat

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Approfondissement facultatif : Quand utiliser la règle de l’Hôpital

Examiner la forme avant de dériver

Une version suffisante du théorème

Exemple résolu : Deux applications, deux vérifications

Contre-exemple : Un quotient ne suffit pas

À votre tour : Une limite à l’infini

Choisir sa méthode

Choisir la suite à partir de votre première erreur

Utiliser le tutorat pour corriger l’étape manquée

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