Diagrammes de forces et frottement : passer aux équations

1. Choisir le système avant de tracer les forces

Le système est l’objet ou le groupe d’objets que vous choisissez d’étudier. Ici, choisissez la boîte seule. Imaginez une frontière autour d’elle : la Terre, le sol et la corde sont à l’extérieur. Chacun peut exercer une force extérieure sur la boîte. Demandez-vous « Qu’est-ce qui pousse ou tire cet objet? » plutôt que « Dans quel sens se déplace-t-il? ».

Un diagramme de forces, aussi appelé diagramme de corps libre, représente l’objet isolé et les forces extérieures qui s’exercent sur lui. La lettre $m$ désigne la masse de la boîte, en kilogrammes (kg), et $g$ la valeur de l’accélération gravitationnelle près de la Terre, en mètres par seconde carrée ($\mathrm{m/s^2}$). Une force se mesure en newtons, de symbole $\mathrm{N}$. Attention : la variable en italique $N$ désigne ci-dessous une force particulière, et non son unité.

Le poids $mg$ est la force exercée par la Terre, verticalement vers le bas. La force normale $N$ est la poussée de la surface, perpendiculaire à celle-ci. Le frottement, noté $f$ dans le premier diagramme, agit parallèlement à la surface de contact. La traction $F$ exercée par la corde suit la direction de la corde. « Normale » signifie « perpendiculaire »; cela ne signifie pas « égale au poids ».

Vous pourriez choisir un système plus grand, mais la liste des forces extérieures changerait. Si vous incluez la boîte et le sol, leurs forces de contact mutuelles deviennent internes au système. On ne peut pas changer de système au milieu d’une équation.

Suivre le même ordre à chaque problème

Choisir l’objet → repérer les contacts et le glissement → tracer les forces extérieures → choisir les axes → écrire la deuxième loi de Newton → vérifier le frottement et le contact → résoudre et vérifier.

2. Distinguer les forces du mouvement

Prenez le sol immobile ou la pièce comme référentiel approximativement inertiel : un référentiel dans lequel un objet soumis à une force résultante nulle conserve une vitesse constante. La deuxième loi de Newton relie la résultante des forces extérieures à l’accélération. Les indices $x$ et $y$ désignent les deux axes choisis. Les quantités $a_x$ et $a_y$ sont les composantes de l’accélération; $F_x$ et $F_y$ sont les composantes d’une force. Le symbole $\sum$ signifie qu’on additionne les composantes de toutes les forces suivant l’axe, avec leurs signes :

$$\sum F_x=ma_x,\qquad \sum F_y=ma_y.$$

L’accélération décrit une variation de la vitesse. Une boîte qui se déplace vers la droite gagne de la vitesse si son accélération est vers la droite, ralentit si elle est vers la gauche et garde une vitesse constante si son accélération est nulle. La première loi de Newton correspond au cas d’une force résultante nulle. Il n’est pas nécessaire qu’une force résultante continue d’agir pour maintenir le mouvement.

La troisième loi de Newton associe deux forces qui s’exercent sur deux objets différents. Le sol pousse la boîte vers le haut; la boîte pousse le sol vers le bas. Seule la première force appartient au diagramme de la boîte. Le poids et la normale ne forment pas une paire action-réaction : les deux agissent sur la boîte.

A : n’inventez pas de force pour expliquer la vitesse. B : identifiez l’objet qui reçoit chaque force. C : décomposez une force oblique pour calculer ses composantes, mais n’ajoutez pas ensuite la force d’origine une seconde fois. Les composantes décrivent la même interaction.

Choisir le frottement selon le mouvement au contact

L’indice $s$ désigne le frottement statique et l’indice $k$ le frottement cinétique. Les coefficients correspondants, $\mu_s$ et $\mu_k$, caractérisent la paire de surfaces en contact. Ils n’ont pas d’unité et sont fournis par une mesure ou par l’énoncé. L’indice $\max$ signifie « valeur maximale ».

Lorsque les surfaces glissent l’une par rapport à l’autre, le frottement cinétique a pour valeur $f_k=\mu_kN$ et s’oppose à ce glissement relatif. Sans glissement au contact, le frottement statique s’oppose à la tendance à glisser et prend la valeur nécessaire pour l’empêcher. Sa valeur $f_s$ respecte :

$$0\le f_s\le\mu_sN,\qquad f_{s,\max}=\mu_sN.$$

Pour tester si une boîte peut rester au repos sur un sol immobile, supposez l’équilibre, calculez le frottement nécessaire, puis comparez-le au maximum disponible. Si la valeur nécessaire dépasse ce maximum, le repos est impossible. L’égalité correspond à l’équilibre limite; elle ne garantit pas à elle seule le départ du mouvement. Le frottement statique peut aussi accélérer un objet sans glissement, comme le montrera l’exercice du tapis roulant.

3. Exemple résolu 1 : une traction horizontale

Une boîte de 5,0 kg glisse déjà vers la droite sur un sol horizontal immobile. Une traction horizontale de 18 N agit vers la droite. Le coefficient de frottement cinétique vaut 0,20. Quelle est l’accélération de la boîte?

Dans tous les problèmes numériques, utilisez $g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$. Supposez que les boîtes ne basculent pas, négligez la résistance de l’air et utilisez des coefficients de frottement constants. Conservez les valeurs non arrondies dans les calculs. Les accélérations finales sont données à deux décimales pour faciliter la comparaison, sans prétendre à cette précision de mesure.

Écrire les équations et résoudre

Choisissez l’axe $x$ positif vers la droite et l’axe $y$ positif vers le haut. Tant que la boîte reste sur le sol horizontal, son accélération verticale est nulle. Commencez par l’axe vertical : le frottement dépend de la normale, encore inconnue.

$$\begin{aligned}N-mg&=0,\\N&=(5{,}0)(9{,}8)\\&=49\ \mathrm{N}.\end{aligned}$$

L’expression « glisse déjà » indique qu’il faut utiliser le frottement cinétique. Celui-ci est dirigé vers la gauche, car la boîte glisse vers la droite par rapport au sol :

$$f_k=\mu_kN=0{,}20(49)=9{,}8\ \mathrm{N}.$$

$$\begin{aligned}F-f_k&=ma_x,\\a_x&=\frac{18-9{,}8}{5{,}0}\\&=1{,}64\ \mathrm{m/s^2}.\end{aligned}$$

Interpréter le résultat et le vérifier

L’accélération positive est dirigée vers la droite : cette boîte qui se déplace vers la droite gagne donc de la vitesse. Les unités concordent : $\mathrm{N/kg}=\mathrm{m/s^2}$. Sans frottement, l’accélération serait $18/5{,}0=3{,}60\ \mathrm{m/s^2}$; une valeur plus petite est donc cohérente. En remplaçant $\mu_k$ par zéro dans l’équation symbolique, on retrouve bien le cas sans frottement.

Si la traction passe à 9,8 N pendant que la boîte glisse encore, l’accélération devient nulle et la boîte poursuit son mouvement à vitesse constante. Deux forces opposées qui se compensent n’impliquent pas le repos : elles impliquent une vitesse qui ne change pas.

4. Exemple résolu 2 : la boîte va-t-elle glisser?

Une boîte de 6,0 kg est initialement au repos sur un sol horizontal immobile. Ici, $\mu_s=0{,}35$ et $\mu_k=0{,}25$. Comparez deux essais indépendants, chacun à partir du repos : une traction horizontale de 16 N, puis une traction de 25 N, toutes deux vers la droite.

L’équation verticale donne $N=mg=58{,}8\ \mathrm{N}$. Avant de calculer une accélération, trouvez le frottement statique maximal disponible :

$$f_{s,\max}=0{,}35(58{,}8)=20{,}58\ \mathrm{N}.$$

Essai A : tester l’hypothèse du repos

L’équilibre horizontal exige $16-f_s=0$, donc $f_s=16\ \mathrm{N}$ vers la gauche. Cette valeur est inférieure à 20,58 N : le frottement statique peut donc la fournir. La boîte reste au repos et son accélération est nulle.

Écrire ici $f_s=\mu_sN=20{,}58\ \mathrm{N}$ prédirait une force résultante vers la gauche, alors que la faible traction ne fait pas glisser la boîte. L’erreur consiste à remplacer une force qui s’ajuste par sa valeur maximale possible.

Essai B : abandonner le repos et changer de modèle

Le repos demanderait 25 N de frottement statique, ce qui dépasse le maximum. La boîte commence à glisser vers la droite. Utilisez maintenant le frottement cinétique, car les conditions au contact ont changé :

$$f_k=0{,}25(58{,}8)=14{,}7\ \mathrm{N}.$$

$$a_x=\frac{25-14{,}7}{6{,}0}\approx1{,}72\ \mathrm{m/s^2}.$$

Soustraire le maximum statique de 25 N donnerait une accélération de glissement incorrecte. Dès que la boîte glisse, c’est le modèle cinétique qui détermine le frottement. Au seuil lui-même, le modèle statique idéal permet encore l’équilibre.

Comprendre ce que représente le graphique

Le graphique décrit une traction qui augmente progressivement sur une boîte initialement au repos. Il ne représente pas une relation universelle indépendante de ce qui s’est passé auparavant. Une boîte qui glisse déjà peut subir un frottement cinétique même si la traction actuelle est inférieure au seuil statique. Ces lois sont des approximations du frottement sec; certaines surfaces réelles, la résistance au roulement et la traînée d’un fluide peuvent demander d’autres modèles.

5. Exemple résolu 3 : tirer vers le haut aide-t-il?

Reprenez la boîte de 5,0 kg qui glisse déjà vers la droite, la force de 18 N et $\mu_k=0{,}20$. Inclinez la traction de $30^\circ$ au-dessus de l’horizontale. Faites une prévision avant de calculer : tirer vers le haut diminue le frottement, mais diminue aussi la composante horizontale de la traction.

Pour un angle $\theta$ mesuré au-dessus de l’horizontale, les composantes de la traction sont $F_x=F\cos\theta$ et $F_y=F\sin\theta$. Tant que la boîte reste sur le sol, son accélération verticale est nulle :

$$\begin{aligned}N+F\sin\theta-mg&=0,\\N&=mg-F\sin\theta.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}N&=49-18\sin30^\circ\\&=40\ \mathrm{N},\\f_k&=0{,}20(40)\\&=8{,}0\ \mathrm{N}.\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}ma_x&=F\cos\theta-\mu_kN,\\a_x&=\frac1m\bigl[F\cos\theta\\&\qquad-\mu_k(mg-F\sin\theta)\bigr].\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}a_x&=\frac{18\cos30^\circ-8{,}0}{5{,}0}\\&\approx1{,}52\ \mathrm{m/s^2}.\end{aligned}$$

L’accélération est un peu plus petite que les $1{,}64\ \mathrm{m/s^2}$ obtenus avec une traction horizontale. Le frottement a diminué de 1,8 N, mais la composante horizontale de la traction a diminué d’environ 2,41 N. Ces deux effets expliquent le résultat; la seule diminution du frottement ne permet pas de conclure.

Avec une poussée de 18 N inclinée de 30° vers le bas, la composante verticale augmente la charge exercée sur le sol : $N=49+9=58\ \mathrm{N}$. Le frottement vaut alors 11,6 N et l’accélération environ $0{,}80\ \mathrm{m/s^2}$ vers la droite.

Vérifier que le contact est maintenu

Le sol peut pousser la boîte vers le haut, mais ne peut pas la tirer vers le bas. Il faut donc $N\ge0$. Si le calcul donne $F\sin\theta>mg$, la normale négative signale une perte de contact : il faut remplacer le modèle à accélération verticale nulle. Ici, 18 N est inférieur au poids de 49 N; aucun angle de traction vers le haut ne peut donc soulever la boîte.

Lorsque $\theta\to0$, la formule redonne le résultat de la traction horizontale. Lorsque $\mu_k\to0$, elle devient $a_x=F\cos\theta/m$, soit l’accélération horizontale sans frottement.

6. S’exercer à choisir le bon modèle

Tracez un diagramme et écrivez les équations avec les symboles avant d’insérer les nombres. Dans chaque réponse, précisez le sens des forces et les conditions au contact qui justifient votre choix de frottement. Essayez chaque problème avant d’ouvrir sa solution expliquée.

Exercice guidé : une traction qu’on retire

Une boîte de 4,0 kg glisse vers la droite sur un sol horizontal immobile. Elle est tirée horizontalement vers la droite par une force de 9,0 N. On donne $\mu_k=0{,}15$.

1. Énumérez les quatre forces extérieures. Quelle condition impose $a_y=0$? Utilisez-la pour trouver $N$.
2. Calculez le frottement cinétique, puis écrivez l’équation des forces horizontales avec les signes.
3. Trouvez l’accélération et expliquez si la boîte gagne de la vitesse.
4. Retirez la traction pendant que la boîte glisse encore vers la droite. Quelle est sa nouvelle accélération? Que se passe-t-il quand elle s’arrête?

Exercice autonome 1 : une boîte sur un plan incliné

On lâche sans vitesse initiale une boîte de 3,0 kg sur un plan immobile incliné de 25° par rapport à l’horizontale. On donne $\mu_s=0{,}40$ et $\mu_k=0{,}15$. Reste-t-elle au repos? Si elle glisse, trouvez son accélération. Choisissez un axe parallèle au plan et un axe perpendiculaire. Les composantes du poids sont $mg\sin\theta$ vers le bas du plan et $mg\cos\theta$ vers l’intérieur du plan; elles remplacent le poids dans les équations suivant ces axes.

Exercice autonome 2 : un tapis roulant

Une boîte de 2,0 kg a initialement la même vitesse qu’un tapis roulant horizontal. Le tapis accélère ensuite vers la droite à $1{,}2\ \mathrm{m/s^2}$, sans que la boîte glisse sur lui. Aucune autre force horizontale n’agit sur la boîte et $\mu_s=0{,}30$. Dans quel sens le frottement agit-il sur la boîte? Trouvez sa valeur, vérifiez que l’absence de glissement est compatible avec le maximum statique, puis trouvez l’accélération maximale du tapis qui permet de maintenir cette absence de glissement.

Avant de regarder les solutions

Pour le plan incliné, comparez le frottement statique nécessaire au frottement statique disponible. Pour le tapis, demandez-vous quelle force peut accélérer la boîte vers la droite. Un objet peut se déplacer dans la pièce sans qu’il y ait de glissement entre les surfaces en contact.

7. Solutions expliquées et approfondissement

Vérification : que change un glissement vers le haut du plan?

Une boîte de 3,0 kg glisse maintenant vers le haut du même plan immobile incliné de 25°, après la fin d’une brève poussée. Seuls le poids et les forces de contact du plan agissent. Utilisez $\mu_s=0{,}40$, $\mu_k=0{,}15$ et le sens descendant comme sens positif. Dans quel sens agit le frottement cinétique? L’accélération vers le bas du plan vaut-elle encore $2{,}81\ \mathrm{m/s^2}$?

Approfondissement facultatif : choisir l’angle de traction

Ici, $a(\theta)$ désigne l’accélération horizontale pour une traction à l’angle $\theta$, et $a(0)$ celle obtenue avec une traction horizontale. Gardez la même valeur de $F$ et supposez que la boîte continue de glisser vers la droite, en restant en contact avec le sol. La différence est :

$$\begin{aligned}a(\theta)-a(0)&=\frac{F}{m}\bigl(\cos\theta\\&\qquad+\mu_k\sin\theta-1\bigr).\end{aligned}$$

Incliner la traction vers le haut aide lorsque cette différence est positive, soit lorsque $\mu_k\sin\theta>1-\cos\theta$. Pour $0<\theta<90^\circ$, divisez par $\sin\theta$, qui est positif, puis utilisez l’identité $(1-\cos\theta)/\sin\theta=\tan(\theta/2)$. Tant que le contact est maintenu, tirer vers le haut augmente donc l’accélération exactement lorsque :

$$\tan(\theta/2)<\mu_k.$$

Pour $\mu_k=0{,}20$, l’avantage disparaît vers $22{,}62^\circ$. La fonction $\arctan$ donne l’angle dont la tangente est le nombre indiqué. L’identité suivante permet de trouver l’angle optimal :

$$\begin{aligned}\cos\theta+\mu_k\sin\theta\\=\sqrt{1+\mu_k^2}\,\cos(\theta-\arctan\mu_k).\end{aligned}$$

Le cosinus atteint son maximum lorsque son argument est nul. L’angle optimal est donc $\theta=\arctan\mu_k\approx11{,}31^\circ$, ce qui donne $a\approx1{,}71\ \mathrm{m/s^2}$ pour notre boîte de 5,0 kg tirée par 18 N. Vérifiez toujours le maintien du contact avant d’utiliser cet optimum dans un autre problème.

Garder ces questions pour le prochain problème

Pouvez-vous nommer l’objet qui exerce chaque force, justifier le modèle de frottement et expliquer pourquoi le sens et la valeur de votre accélération sont cohérents? Si une réponse reste floue, revoyez la mise en situation avant de poursuivre l’algèbre.

Pour approfondir

Ces références en anglais présentent les lois physiques utilisées. Les exemples et diagrammes de ce guide sont ceux de la ressource Nablio, adaptés en français.

• OpenStax, section 5.3 : deuxième loi de Newton (en anglais)
• OpenStax, section 5.5 : troisième loi de Newton (en anglais)
• OpenStax, section 5.7 : diagrammes de corps libre (en anglais)
• OpenStax, section 6.2 : frottement (en anglais)

Pour l’aide en mécanique, consultez la page Nablio et repérez l’étape de votre diagramme que vous souhaitez travailler.