Règles de dérivation : choisir la première étape

Lire d’abord l’extérieur

L’addition se trouve à l’intérieur des parenthèses. La dernière opération élève toute l’expression intérieure à la puissance quatre : on commence donc par la règle de la chaîne, ou dérivation d’une fonction composée. Posons $u(x)=2x^2+3$; la fonction extérieure transforme $u$ en $u^4$.

Multiplier les deux taux de variation

La dérivée extérieure vaut $4u^3$, et la dérivée intérieure vaut $u^{\prime}(x)=4x$. La règle de la chaîne les multiplie :

$$\begin{aligned}f^{\prime}(x)&=4(2x^2+3)^3(4x)\\&=16x(2x^2+3)^3.\end{aligned}$$

Le facteur $4x$ tient compte de la variation de l’expression intérieure avec $x$; écrire seulement $4(2x^2+3)^3$ omettrait cette variation.

Conserver le domaine

La fonction et sa dérivée sont des polynômes définis pour tout réel $x$. Aucun dénominateur, aucune racine carrée ni aucun logarithme n’ajoute de restriction.

Repérer l’étape incorrecte

L’opération extérieure multiplie deux fonctions de $x$. L’étudiant a correctement dérivé chaque facteur, mais a ensuite multiplié ces dérivées. Il faut appliquer la règle du produit, qui additionne deux contributions. Pour $u(x)=x-1$ et $v(x)=e^{3x}$,

$$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.$$

Utiliser la chaîne à l’intérieur du produit

Ici, $u^{\prime}(x)=1$. Dans l’exponentielle, l’exposant intérieur $3x$ a pour dérivée $3$; la règle de la chaîne donne donc $v^{\prime}(x)=3e^{3x}$. Ainsi,

$$\begin{aligned}g^{\prime}(x)&=e^{3x}+3(x-1)e^{3x}\\&=(3x-2)e^{3x}.\end{aligned}$$

Le premier terme fait varier le facteur linéaire en gardant l’exponentielle; le second fait varier l’exponentielle en gardant le facteur linéaire. Les deux sont nécessaires.

Comparer les réponses et vérifier le domaine

En $x=0$, la dérivée corrigée donne $g^{\prime}(0)=-2$, tandis que l’expression de l’étudiant donne $3$. Les deux facteurs initiaux sont définis et dérivables pour tout réel $x$; c’est aussi le domaine de la dérivée.

Restreindre les entrées avant de dériver

Le logarithme exige $3x+1>0$, donc $x>-1/3$. Le dénominateur exige aussi $x\ne2$. Le domaine de la fonction est donc $]-1/3,2[\,\cup\,]2,+\infty[$; le symbole $\cup$ réunit les deux intervalles.

Choisir la règle extérieure, puis la règle intérieure

L’opération extérieure divise deux fonctions : la règle du quotient convient donc directement. Posons $u(x)=\ln(3x+1)$ et $v(x)=x-2$. La règle de la chaîne au numérateur donne $u^{\prime}(x)=3/(3x+1)$, tandis que $v^{\prime}(x)=1$. On applique

$$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}.$$

On multiplie la dérivée du numérateur par le dénominateur initial, puis on soustrait le numérateur initial multiplié par la dérivée du dénominateur. Le dénominateur est élevé au carré.

Remplacer et garder les restrictions

$$\begin{gathered}h^{\prime}(x)\\=\frac{\dfrac{3(x-2)}{3x+1}-\ln(3x+1)}{(x-2)^2}.\end{gathered}$$

Cette dérivée est valable sur les mêmes deux intervalles ouverts que $h$. Aucune réécriture de la formule ne rétablit $x=-1/3$ ou $x=2$. Écrire le quotient initial sous la forme $\ln(3x+1)(x-2)^{-1}$ est également valable sur ce domaine : les règles du produit et de la chaîne donnent alors la même dérivée.